РОЗДІЛ 2
МОДЕЛЬ ТІЛА ЛЮДИНИ ЯК ЕЛЕМЕНТА ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО РЕЖИМУ РОБОТИ ЕЛЕКТРОУСТАНОВКИ
2.1. Загальні положення
Дослідження дії електричного струму на людину непрямими методами в широкому діапазоні зміни факторів впливу можливе на основі моделювання явищ, пов'язаних з такою дією.
Експерименти на математичних моделях дозволяють значно скоротити необхідну кількість фізичних експериментів на людях, а також отримати результати в широкому діапазоні зміни параметрів - як людини, так і факторів дії. Особливо цінними будуть результати математичних експериментів в діапазоні напруг, які в фізичних експериментах можуть бути небезпечними для людини.
Інформаційною базою для розроблення моделі стали власні фізичні експерименти [42,44,45], опубліковані результати таких експериментів інших дослідників [34], а також статистика електротравматизму [7,16]. Матеріали експериментальних досліджень використовувались у вигляді частотних, вольтамперних і амперсекундних характеристик тіла людини.
Необхідно відмітити, що моделі тіла людини мають, крім науково-дослідного призначення, ще й практичне використання. Розроблення і аналіз роботи захисних пристроїв, таких як пристрої захисного вимкнення, постійного контролю ізоляції, захисного шунтування однофазних пошкоджень та інших, потребують визначення напруг дотику і струмів крізь тіло людини [68,69]. Умови спрацювання таких пристроїв виконуються найбільш точно при умові введення в розрахункові схеми моделей тіла людини. Використовуються моделі тіла людини також при розслідуванні виробничих нещасних випадків, пов'язаних з дією електричного струму на людину.
2.2. Синтезування і тестування моделі тіла людини як елемента електричного кола
Запропонована модель тіла людини як елемента електричного кола являє собою ланцюгову n ланкову схему, кожна j ланка якої складається з паралельно з'єднаних резистора rj і конденсатора cj (рис.2.1), що дозволяє врахувати явища електропровідності та поляризації в окремих ділянках тіла [43].
Рис.2.1. Заступна схема (модель) тіла людини.
Саме така схема може відтворити тіло людини як елемент електричного кола, що становить багатошарову структуру послідовно-паралельно з'єднаних шарів з різними електричними властивостями.
Параметри лінійної моделі визначались за частотною характеристикою тіла людини шляхом порівняння одержаного експериментально значення модуля повного опору тіла людини на частоті і модуля комплексного опору заступної схеми , тобто
, (2.1)
де - колова частота.
Використані частотні характеристики знімалися на напругах до 5 В, коли ще не виявляється природна нелінійність вольтамперних характеристик тіла людини і одержані моделі адекватно відтворюють параметри тіла людини в діапазоні малих напруг; у випадку дії великих напруг це відтворення буде наближеним.
Комплексна провідність однієї rc ланки
. (2.2)
Перетворимо паралельне з'єднання елементів ланки в еквівалентне послідовне з параметрами
, . (2.3)
Тоді модуль комплексного опору моделі
, (2.4)
де:
, (2.5)
Визначення параметрів n-ланкової моделі на базі частотної характеристики здійснювалось двома методами. Першим була спроба розв'язання системи 2n рівнянь типу (2.4) для множини 2n частот характеристики. Другим методом було формування одного рівняння з 2n невідомими параметрами моделі (цільової функції) і його розв'язання оптимізаційними методами.
Для формування нелінійної системи рівнянь потрібні дослідні значення повного опору тіла для множини 2n частот; на формування цільової функції не накладається ніяких обмежень щодо кількості дослідів.
В загальному вигляді нелінійна система рівнянь відносно вектор-стовбця невідомих параметрів схеми (рис.2.1) , має вигляд , або в розгорнутій формі
,
,
(2.6)
Для розв'язання цієї системи рівнянь використовувався метод Ньютона [47,48], ітераційний процес якого реалізується за рекурсивною формулою
, (2.6а)
де - вектор-стовпець поправки.
Необхідною умовою збіжності методу Ньютона є невиродженість, або майже невиродженість? матриці Якобі в області . Невиконання цієї умови приводить до великих значень коректуючих термів, які обчислюються на кожному кроці ітерацій розв'язанням лінійної системи рівнянь
, (2.7)
а це, в свою чергу, виведе невідомі за межі зони збіжності системи рівнянь.
Вищеназвані обставини, як і збіжність методу Ньютона в цілому, суттєво залежить від вибору початкових наближень. Вони повинні бути достатньо близькими до розв'язку системи рівнянь. Для розв'язання системи рівнянь (2.6) не було достатньо об'єктивних умов для визначення наближених значень 2n параметрів rc ланок моделі. Груба оцінка нульових наближень не дала можливості розрахувати ці параметри методом Ньютона.
Другий метод визначення параметрів заступної схеми видався вдалішим. Була сформована функція на базі (2.4) у вигляді [43]
; (2.8)
тут m - кількість врахованих точок частотної характеристики, а потім цільова функція
. (2.9)
Очевидно, що пошук невідомих параметрів моделі буде відбуватись в необхідному напрямку, при наближенні цільової функції до нуля.
Для мінімізації (2.9) використовувався градієнтний метод [49,50]. Щоб мінімізувати скалярну функцію (2.9) n-вимірного вектора при заданих початкових умовах , необхідно перевести в область, де <. При цьому невідомо, де знаходиться мінімум функції . За таких обставин для постійного руху ітераційного процесу до мінімуму необхідно кожний крок здійснювати в напрямку найкрутішого схилу на поверхні відгуку функції . Напрям найшвидшого спуску є напрямом протилежним до градієнта цільової функції (2.10)