РОЗДІЛ 2
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ МЕХАНІЧНИХ КВАДРАТУР
ДЛЯ РОЗВ'ЯЗАННЯ СИНГУЛЯРНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ
ТА ІНТЕГРОДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
2.1. Метод механічних квадратур для розв'язання сингулярного інтегрального рівняння
Стандартним методом розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь є їх аналітична регуляризація і наступне числове обертання отриманих інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Однак, при такій процедурі значно ускладнюються ядра регуляризованого рівняння. Тому, останнім часом переважно отримали поширення прямі методи розв'язання вихідних сингулярних інтегральних рівнянь, що приводять до скінчених алгебраїчних систем. Із структури сингулярних рівнянь випливає, що їх чисельний розв'язок зручно шукати методом механічних квадратур, який базується на спеціально побудованих квадратурних формулах для сингулярних інтегралів [77 - ,2,79].
Розглянемо сингулярне інтегральне рівняння першого роду, до якого можна звести задачу дифракції Е-поляризованої електромагнітної хвилі на ідеально провідній циліндричній перешкоді і обмежимося випадком розімкнутого контуру інтегрування. У цьому випадку можна отримати наступне інтегральне рівняння [77]:
, , (2.1eq1)
де функції , належать класу Н, причому належить цьому класу за обома аргументами. При додатковій умові
(2.2eq2)
розв'язок інтегрального рівняння (2.1) в класі функцій Н* існує і є єдиним [80], причому це виконуватиметься і тоді, коли контур інтегрування складатиметься із скінченого числа гладких розімкнутих контурів, що не перетинаються. При цьому розв'язок рівняння (2.1) можна зобразити у вигляді
. (2.3eq3)
Для числового розв'язання рівняння (2.1) з умовою (2.2) скористаємося спеціально побудованою квадратурною формулою [78]:
, (2.4eq4а)
що є точною для довільного полінома степені не вище 2n, і відомою квадратурною формулою Гауса для регулярних інтегралів:
, (2.4б)
що є точною для поліному ступені не вище 2n-1. В обох останніх формулах ; . В результаті отримаємо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь [81]:
(2.5eq5)
для визначення n невідомих .
Якщо для шуканої функції використати інтерполяційний поліном [81, 82]:
, (2.6eq6)
де - поліном Чебишева першого роду, то з врахуванням співвідношення
(2.7eq7)
знайдемо розв'язок інтегрального рівняння (2.1) у довільній точці відрізка [-1, 1]:
. (2.8eq8)
Встановлено [77], що формула (2.8) є точною тоді, коли функція є поліномом степені, не вище n-1. Оскільки система (2.5) отримана з використанням квадратурних формул (2.4), точних для поліномів степені 2n і 2n-1, то при апроксимації (2.8) точність визначення розв'язку в довільній точці відчутно падає. Цього можна уникнути, якщо визначати функцію безпосередньо з інтегрального рівняння (2.1) [83]. Із співвідношень (2.1) та формули [77]
,
що є точною тоді, коли густину можна зобразити поліномом степені, не вище за 2n (тут - поліном Чебишева другого роду), отримуємо вираз
, (2.9eq9)
який дозволяє знайти функцію у довільній точці відрізка [-1, 1].
Таким чином, система алгебраїчних рівнянь (2.5) разом із інтерполяційними формулами (2.8) або (2.9) повністю розв'язують задачу (2.1), (2.2).
У моноґрафії [77] показано також застосування стандартного підходу до чисельного розв'язування сингулярного інтегрального рівняння (2.1) з умовою (2.2), виходячи з еквівалентного йому інтегрального рівняння Фредгольма другого роду, яке в даному випадку має вигляд [80, 84]:
, . (2.10eq10)
Застосовуючи відомі з літератури квадратурні формули типу Гауса з ваговою функцією (див., наприклад [78, 85]), що є точними, коли функція є поліномом степені, не вище за 2(n-1)-1 для звичайних інтегралів і 2(n-1) для інтегралів з особливістю типу Коші, приходимо до наступної системи алгебраїчних рівнянь:
,
, , . (2.11eq11)
У роботах [77, 83, 86] показано еквівалентність розв'язків інтегрального рівняння (2.1) з умовою (2.2), які отримані з використанням квадратурних формул Гауса-Чебишева прямим і стандартним способом. Цей факт використовується при доведенні збіжності прямого методу розв'язання рівняння (2.1) [87]. Але порівняння систем рівнянь (2.1) і (2.11) показує переваги прямого методу розв'язання сингулярного інтегрального рівняння [77]. Зауважимо, що аналогічний результат має місце також і для сингулярного інтегрального рівняння другого роду [88].
2.2. Метод механічних квадратур для розв'язання інтегрального рівняння з логарифмічною особливістю
2.2.1. Інтегральне рівняння першого роду по розімкнутому контуру.
Розглянемо наступне інтегральне рівняння:
,
(2.12eq12)
Будемо вважати, що ядро задовольняє умову Ґьольдера за обома аргументами, права частина - неперервна функція з обмеженою похідною. Тоді рівняння (2.12) має єдиний розв'язок [89], який належить класу H* і може бути зображений співвідношенням (2.3) з неперервною по Ґьольдеру функцією [90, 91].
Для чисельного розв'язування такого рівняння в електродинаміці часто використовують метод моментів, або метод саморегуляризації. У першому випадку взагалі нехтують слабою особливістю характеристичної частини рівняння (2.12) і будують чисельні схеми розв'язання такого рівняння, як регулярного. У другому випадку враховують некоректність числової процедури розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма першого роду певною модифікацією методу моментів [90].
У даній роботі використано підхід, уперше запропонований в [77]. Цей підхід оснований на застосуванні для чисельного розв'язання слабо сингулярного інтегрального рівняння (2.12) прямого способу розв'язання сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші, викладеного у попередньому параґрафі дисертації. При цьому для обчислення інтеграла з логарифмічною особливістю скористаємося відомою квадратурною формулою [77]:
,
, , . (2.13eq13)
Ця формула