РОЗДІЛ 2
ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ РУЙНУВАННЯ ЕРИТРОЦИТІВ У ПРОБІ КРОВІ ПІД ВПЛИВОМ
ТЕСТ-МЕДИКАМЕНТА
2.1. Обмеження розробленого варіанту моделі і шляхи до їх подолання
Модель у вигляді (1.10) хоча і придатна для застосування і довела свою працездатність [25], проте вона має суттєве обмеження. При комплексній лікарській терапії, коли застосовується комплекс медикаментів, модель у вигляді (1.10) не дає змоги розрізнити алергійний вплив на пацієнта кількох медикаментів - вона дає змогу лише передбачити факт медикаментозної алергії і спрогнозувати її ефективність. Однак подальші дослідження спектру отримуваних сигналів дали змогу встановити, що існує можливість здійснити прив'язку спостережуваного ефекту руйнування еритроцитів у пробі крові пацієнта до дії конкретного медпрепарату по наявності або відсутності притаманної відповідному алергену спектральної складової у спектрі отримуваного сигналу. Це дає змогу застосовувати додатковий критерій - спектральний, який, вирішуючи задачу прив'язки дії медпрепарату до спектральної складової спостережуваного сигналу, дає ще і підвищення надійності висновків, встановлених за допомогою раніше запропонованого критерію.
Постає, однак, питання: спектр якої функції необхідно досліджувати, оскільки функція, яка описує процес руйнування еритроцитів у пробі крові пацієнта і спостережувана функція відрізняються між собою. Причина цієї різниці полягає у нелінійному спотворенні сигналу при його відборі, що зумовлено процесами, які відбуваються при відборі сигналу у оптичному каналі.
У даному випадку є можливість аналізувати спектр неспотвореної функції, оскільки для її реконструкції по результатах спостережень досить знайти число k, яке не залежить від рівня спотворення спостережуваної функції, для якої воно визначається, а лише від амплітуди її похідної. Тому у постановочному плані задача побудови процедури аналізу спектра досліджуваного сигналу для неспотвореної функції спрощується, а в задачу самої процедури аналізу спектра сигналу, окрім визначення гармонічних складових спектра, входить визначення роздільної здатності вимірювань по частоті.
Зважаючи, що досліджуваний частотний спектр знаходиться в межах від долі герца до кількох сотень герц, відповідні фільтри процедури аналізу спектра сигналу можуть бути реалізовані на ПЕОМ.
2.2. Математичні моделі похибок у обчислювальній процедурі аналізу спектра спостережуваного сигналу
При аналізі спектра одиночного експоненціального імпульсу, який описує процес руйнування еритроцитів в часі, передбачається наявність І-резонаторів, які розташовані по осі частот з певною, ще невідомою роздільною здатністю ?, а амплітуда кожної із спектральних складових, як вимірюваний параметр, визначається з допустимою похибкою ?.
Для того, щоб отримати сукупність експериментальних даних на виході процедури аналізу спектра як єдине ціле, а не набір окремих значень fi, їх слід трактувати як дискретну емпіричну множину, j-й елемент якої представлений у функціональному просторі І інформативних ознак [1, 38, 73]. Це означає, що множина експериментальних даних може бути подана у вигляді вектора у І-вимірному просторі або у вигляді матриці, яка складається з одного стовпця
Аналогічно, шукані значення інформативних ознак, кожна з яких впливає на всі компоненти вектора чи матриці [F], можна подати теж у вигляді вектора чи матриці, розмірність яких може бути іншою. Надалі приймемо, що розмірність вектора інформативних ознак рівна J = I. Отже
або
Нехай в результаті вимірювань ми знаходимо функцію f(t), яка характеризує (або є пропорційною) кількість зруйнованих еритроцитів під дією деяких (нам невідомих) медикаментів на момент часу t. Очевидно, що вимірювання здійснюється з деяким кроком ?t. Крім того, процес вимірювання триває на протязі деякого часу до досягнення його збіжності з деякою наперед заданою точністю. Отже , кількість експериментальних даних в різних випадках може бути різною. Позначимо надалі цю кількість експериментальних даних І і назвемо ці числа fi (i = 1, I) експериментальними оцінками інформативних ознак. В залежності від того, які медикаменти приймає пацієнт (а також від особливостей його організму) функції f(t) в кожному конкретному випадку відрізняються між собою. Ця різниця пояснюється якраз особливостями реакції кожного конкретного організму на дію тих чи інших медикаментів.
Тепер припустимо, що внаслідок спостережень ми отримали достатній об'єм статистичних даних. Якщо в організмі виникає алергія до деякого конкретного медикаменту і функція f(t) при цьому є однаковою у всіх випадках, то цей факт можна використати для того, щоб визначити схильність до алергії в будь-якого пацієнта на даний медикамент. Для цього потрібно порівнювати функцію f(t) для даного пацієнта з відповідними контрольними функціями f(t). Очевидно, що таке порівняння найзручніше проводити, використовуючи розклад функції f(t) в ряд Фур'є. Тоді в якості інформативних ознак можуть бути амплітуди кожної складової розкладу функції f(t) в ряд.
На практиці, згідно вимог клініко-лабораторних досліджень, обмежуються вимірюванням в діапазоні довжин хвиль порядку 540 нм [37, 53]. Надалі, для простоти досліджень, будемо вважати, що кількість членів, яка утримується в розкладі в ряд рівна кількості експериментальних спостережень І, тобто кількості інформативних ознак (амплітуді кожної складової розкладу). Величини цих амплітуд позначимо через хі (і = 1, І) і назвемо ці величини інформативними ознаками. Порівняння цих ознак з аналогічними для контрольного варіанту дозволить вияснити, який з медикаментів викликає алергічну реакцію в досліджуваному організмі.
Як було сказано вище, на кожну із оцінок fi (i = 1, I) впливають всі інформативні ознаки xi (i = 1, I). Припустимо надалі, що цей вплив є лінійним і в результаті можемо записати таку систему рівнянь
. (2.1)
Якщо ввести матрицю М
то систему рівнянь (2.1) можна запис