Математичні моделі й чисельні методи розв’язування нелінійних задач синтезу антенних решіток з ідеально провідних випромінювачів

РОЗДІЛ 2
Математичні моделі антенних решіток
з ідеально провідних випромінювачів
У цьому розділі розглядаються математичні моделі задач аналізу (пря­­мих
за­дач) і задач синтезу (обернених задач) ан­тенних решіток з різних типів
іде­аль­но провідних ви­­про­мі­ню­­ва­чів, які враховують взаємний вплив
елементів АР. Задачі аналізу АР полягають у розв’язуванні граничних задач
елек­тро­ди­на­мі­ки на багатозв’язних областях і зво­дять­ся до систем
інтеґральних рівнянь Фредгольма І чи ІІ роду. Постановки різ­них класів задач
синтезу АР за за­даною ам­плі­туд­ною ДН здійснено у варіаційній фор­мі та
зведено до мінімізації від­по­відних згла­джу­ючих функціоналів, які
вра­хо­вують вимоги до заданої амплітудної ДН і обмеження на потужність
сторонніх дже­рел. Доведено тео­реми існування точок глобальних мінімумів цих
функ­ціоналів стосовно век­торної задачі амплітудно-фазового син­те­зу АР і
задачі синтезу та оптимізації розміщення випромінювачів нееквідистантних АР.
Враховуючи спільність ма­те­ма­тич­них моделей задач аналізу
елек­тро­ди­на­міч­­­них, аку­с­­тич­них, оптичних і деяких ін­ших
ви­­промінюючих сис­тем [163], по­ста­­новки задач синтезу здійснено на
за­гальному (опе­раторному) рів­ні, аб­стра­гу­ю­чись від конкретного типу
випромінювачів у решітці.
2.1. Математична модель випромінюючої системи, яка знаходиться в однорідному
ізотропному необмеженому просторі
Розглянемо, згідно з роботами [3, 41, 100, 101], задачу про збудження
елек­тро­маг­нітного поля джерелами, локалізованими у деякій обмеженій області
V три­ви­мі­рного простору (рис. 2.1). Будемо вважати, що за межами цієї
області простір є од­но­рід­ний та ізотропний з постійними значеннями
діелектричної про­ник­нос­ті e і маг­ніт­ної проникності m. Покладемо, що
залежність елек­тро­маг­ніт­них про­цесів від часу має вигляд , де w – частота
коливань елек­тро­маг­ніт­ного поля.
б
Рис. 2.1. До обчислення електромагнітного поля випромінюючої системи

Математична модель задачі у вказаних умовах описується рівняннями Мак­свелла,
які в диференціальній формі запишемо у вигляді [100]:
, ,
, , (2.1)
де – вектор комплексної амплітуди напруженості магнітного поля, – век­тор
ком­плексної амплітуди напруженості електричного поля, – вектор ком­плексної
ам­плітуди об’ємної густини стороннього електричного струму, r – об’ємна
гус­ти­на електричних зарядів.
Крім цього при розв’язуванні зовнішніх граничних задач необхідно до­пов­ни­ти
рівняння Максвелла (2.1) граничними умовами на поверхні розділу двох
се­ре­до­вищ, а також умовами на безмежності [100].
Для знаходження розв’язків системи рівнянь (2.1), аналогічно [100], вво­ди­мо
дві допоміжні функції – векторний і скалярний електричні по­тенціали. Фун­кцію
введемо таким чином:
. (2.2)
То­ді вектор напруженості магнітного поля задовольняє четверте рівняння
сис­те­ми (2.1). Підставляючи значення через векторний потенціал сто­рон­ніх
електричних струмів у друге рівняння системи (2.1), отримуємо рівність , яка
показує, що поле вектора у дужках є потенціальне. Тому функ­цію введемо так,
щоб вираз у дужках дорівнював . У результаті отри­муємо
. (2.3)
Підставляючи рівності (2.2) і (2.3) у перше рівняння системи (2.1), одер­жує­мо
вираз, який зв'язує векторний і скалярний потенціали зі сторонніми стру­ма­ми
,
де .
Використовуючи умову Лоренца , отримуємо не­од­норідне рівняння Гемгольца
відносно комплексної амплітуди електричного век­торного потенціалу
, (2.4)
де – коефіцієнт розповсюдження.
Відомо [100], що розв’язок рівняння Гельмгольца (2.4), який за­до­воль­няє на
безмежності умови випромінювання, у довільній точці спо­сте­ре­жен­ня Q(x,y,z)
визначається виразом
, (2.5)
де
(2.6)
– функція Гріна необмеженого однорідного ізотропного середовища; – відстань між
точками спос­те­ре­жен­ня Q(x,y,z) (яка не належить області V) та інтеґрування
Р(x',y',z').
Беручи до уваги розв’язок рівняння Гельмгольца (2.5), електромагнітне по­ле в
будь-якій точці простору визначається так:
, . (2.7)
Знайдемо асимптотичний вираз для векторного потенціалу у дальній зоні, тобто
при ( – діаметр області V). Для цього введемо сферичну систему координат,
початок якої знаходиться в об­лас­ті V, де локалізовані сторонні струми (рис.
2.1,а). Позначимо (r,J,j) – сферичні координати точки спо­сте­ре­жен­ня , –
сферичні координати точки інтеґрування . Відстань між точками і визначається за
формулою
, (2.8)
де a – кут між радіус–вектором, напрямленим у точку спостереження і
ра­ді­ус–век­тором точки інтеґрування. Величина є проекцією вектора на напрям
одиничного вектора , тобто
.
При функцію (2.8) мож­на розвинути у ряд за степенями :
.
Таким чином, при (у дальній зоні) вирази для і на­будуть вигляду: , , а для
ядра інтеґрального оператора (2.5) спра­ведливий такий асимптотичний вираз:
Отже, векторний потенціал при набуває вигляду
. (2.9)
Нехай – складові вектора у сферичній системі ко­ор­ди­нат (рис. 2.1,б).
Підставляючи вираз (2.9) у формулу для вектора магнітного поля (2.7),
отри­муємо такі вирази для компонент вектора у сферичній системі координат:
,
, .
Оскільки компоненти векторного потенціалу та їх частинні по­хід­ні по r, J і j
спадають із відстанню як 1/r, отримуємо такі асимптотичні ви­ра­зи:
, , . (2.10)
У вільному просторі при відсутності сторонніх струмів і зарядів вектори і
зв’язані між собою рівністю