Розділ 2. Аналіз множини розв'язків дискретних лінійних систем керування з
крайовими умовами
Протягом останніх двох століть для самих різноманітних областей знань з
використанням загальних законів природознавства та фундаментальних досліджень в
галузях конкретних наук отримано величезну кількість математичних моделей,
серед яких багато як лінійних, так і нелінійних. Традиційну думку щодо простоти
лінійних моделей можна спростувати уже на прикладі стану справ з класичною
крайовою задачею для системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь, для
яких загального випадку теореми про існування та єдиність розв'язку немає.
Згадана класична крайова задача для системи лінійних звичайних диференціальних
рівнянь надзвичайно широким колом чисельних методів наближено розв'язується з
використанням комп’ютерів. Майже всі вони в тій, чи іншій мірі використовують
дискретизацію часу або простору фазових станів, тобто будується послідовність
систем лінійних алгебраїчних рекурентних співвідношень і розрахунок ведеться
згідно відповідного алгоритму. При цьому слід мати на увазі існування
надзвичайно широкого спектру прикладних задач будівельної механіки, систем
автоматичного керування, спостереження та регулювання та інших галузей, де
дискретна математична модель з умовами (обмеженнями) в проміжних та кінцевих
точках інтервалу зміни дискретного аргументу – вихідна математична модель
процесу.
2.1. Постановка задач аналізу множини керувань дискретних лінійних систем з
крайовими умовами
Базовою для подальших досліджень буде задача керування лінійною системою з
крайовими умовами, тобто така задача керування, коли для визначеної дискретної
лінійної системи керування в крайніх точках інтервалу керування накладено
лінійні умови на фазові стани системи.
Отже, розглядається динамічна система керування з дискретним аргументом, яка
описується системою рівнянь
(2.1)
де – вектор фазового стану системи керування,– відома матриця системи, – відома
матриця керування, – невідомий вектор керування.
Фазовий стан системи керування (2.1) має обмеження на кінцях інтервалу зміни
аргументу, а саме
(2.2)
(2.3)
де – відомі матриці, – відомі вектори.
Ставиться задача знаходження всієї множини розв'язків (псевдорозв'зків) задачі
керування виду (2.1) – (2.3), тобто потрібно знайти невідомі вектори керування
, невідомі вектори фазового стану системи керування , такі, щоб умови (2.2),
(2.3) на кінцях інтервалу зміни аргументу для фазових станів , виконувались.
Поставлена задача в силу специфіки системи рівнянь (2.1) не може бути
розв'язаною без знання вектора початкового фазового стану системи . Крім цього,
розв'язок може бути принципово різним. Тому розглядаються такі дві задачі.
Задача I. ( Задача аналітичного представлення для керування в лінійних системах
з крайовими умовами). Знайти в явному вигляді керування для лінійної дискретної
системи з крайовими умовами, а саме: знайти систему () векторів , та вектор
початкового стану , щоб після підстановки їх в співвідношення (2.1) одержати
вектор кінцевого стану такий, що забезпечив би виконання умов на кінцях
інтервалу зміни аргументу (2.2), (2.3).
Задача II. (Задача параметричного представлення керування в лінійних системах з
крайовими умовами). Знайти вектор початкового стану як функцію системи ()
векторів і визначити всю множину векторів – розв'язків для функції керування в
вихідній задачі (2.1) – (2.3). Таку задачу доцільно назвати задачею з
параметричним керуванням.
Для поставлених математичних проблем повинні бути визначені умови існування та
єдиності розв'язків сформульованих задач. Природно, що при існуванні та
неєдиності розв'язків доцільно визначити розмірність простору розв'язків і тим
самим зумовити коректність додаткової оптимізаційної задачі.
Аналіз поставлених задач керування (2.1) – (2.3) – важливий етап розв'язування
інших можливих задач керування системами типу (2.1). Дійсно, по–перше,
різноманітні важливі для практичних застосувань задачі включають фазові
обмеження на початку або в кінці процесу керування, а часто і в проміжних
точках інтервалу керування; по–друге, за умов існування та неєдиності розв'язку
поставлених задач виникає можливість формувати додаткові функціонали на
розв'язках системи (2.1) – (2.3). Більш вагомі можливості відкриваються, якщо
деякі параметри моделі (2.1) – (2.3) невизначені і тоді при наявності явного
вигляду множини розв'язків з допомогою додаткових функціоналів знаходяться
оптимальні значення цих параметрів, розв'язується задача синтезу системи
керування.
Особливої уваги для практичних задач заслуговують дослідження, які при
відсутності розв'язків задач дають аналітичне представлення для
псевдорозв'язків, а саме, згідно певних критеріїв типу нев'язки для систем
лінійних алгебраїчних рівнянь, норми розв'язків і т. п., формуються залежності,
які не являються розв'язками, але при допустимих варіаціях параметрів
математичної моделі можуть стати розв'язками. При розв'язуванні поставлених
задач будуть розглядатись і псевдорозв'язки. Там, де математичні викладки
стосуються як розв'язків, так і псевдорозв'язків буде використовуватись форма
запису „розв'язок (псевдорозв'язок)”.
Задача термінального керування для лінійних систем з дискретним аргументом
, (2.4)
(2.5)
досліджувалась і раніше, але ці дослідження стосувались здебільшого питань
керованості та побудови різних алгоритмів керування. В рамках таких постановок
в формулі (2.5) вектор початкового стану без обмеження загальності був
нульовим. Ставилась задача про можливість вибором вектора керування виконати
умови (2.5) для довільного вектора
- Київ+380960830922