РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПОВЕРХНІ ТРИВИМІРНОГО ТІЛА З ВИКОРИСТАННЯМ ІНТЕРЛІНАЦІЇ
ФУНКЦІЙ
Позначимо через - клас поверхонь, які однозначно можуть бути описані в
циліндричній системі координат рівнянням:
, , , ,
де - однозначна функція двох аргументів, - віддаль від осі до поверхні тіла,
яка відповідає заданим значенням та . Таким чином, при перерізі тіла
горизонтальною площиною , де , отримуємо замкнуту лінію . Аналогічно, при
перетині тіла вертикальною площиною отримаємо теж одну лінію , . До таких тіл
можна віднести широкий клас об’єктів, наприклад, корпус турбіни, водонапірні
вежі, манекен, що використовується у швейній промисловості тощо.
Для оптимізації математичної моделі поверхні тривимірного тіла потрібно
отримувати її у вигляді функцій, що мають достатню кількість параметрів,
вибором яких можна із потрібною точністю наблизитись до поверхні, заданої
експериментальними даними. До таких функцій можна віднести, зокрема, функції,
які дозволяють при своїй побудові використовувати відомі точки, лінії та відомі
частини поверхонь. Нижче будуть розглянуті методи побудови таких функцій з
використанням операторів інтерлінації функцій та ін.
2.1. Математичне моделювання поверхні тривимірного тіла з використанням теорії
інтерлінації функцій
2.1.1. Означення інтерлінації функцій. Хай нам задана функція двох змінних і
система ліній або , , .
Означення 1. Слідом функції на лінії будемо називати функцію однієї змінної (,
або , або параметра ) або або , яка у кожній точці цієї лінії приймає такі ж
значення, як і функція . В математиці цей факт записують так:
Приклади. Якщо лінія є прямою , паралельною осі Оу, то слідом функції на цій
прямій буде функція змінної . Аналогічно, якщо лінія є прямою , паралельною осі
Ох, то слідом функції на цій прямій буде функція змінної . Якщо ж пряма має
загальний вигляд , то слідом функції на цій прямій є функція змінної за умови ,
або функція змінної за умови , або функція . Якщо ж лінія , , є еліпсом ,
заданим параметрично, то слідом функції на цьому еліпсі буде функція параметра
.
Означення 2. Інтерполяцією функції (від англ. inter – між, pole - полюс)
називається відновлення (можливо, наближене) функції в довільних точках за
допомогою значень цієї функції у заданій системі точок .
Означення 3. Інтерлінацією функції (від англ. inter – між, line - лінія)
називається відновлення (можливо, наближене) функції у точках між лініями за
допомогою її слідів на цих лініях.
Інтерлінація та її узагальнення – інтерфлетація функцій знаходять широке
застосування у найрізноманітніших галузях науки і техніки. В додатку А наведено
деякі приклади, які на думку дисертанта сприятимуть розумінню можливостей
застосування інтерлінації та інтерфлетації функцій при оптимізації математичної
моделі поверхні тривимірного тіла і, зокрема, манекена. Ці та інші приклади
можна знайти в роботах О. М. Литвина [7, 8].
2.1.2. Математична модель поверхні тривимірного тіла з використанням
раціональної інтерлінації функцій на М (Мі2) прямих в R2. Хай прямі , задані
нормальними рівняннями:
(2.1)
- нормаль до ; .
Введемо функції
(2.2)
Очевидно
(2.3)
Будемо розглядати функції :
(2.4)
де функції - функції однієї змінної ( або ).
Якщо , , , то .
Аналогічно визначаються , якщо , .
Якщо ж , , , то
, , або , , або ,
Теорема 2.1. Оператор
, (2.5)
де
, (2.6)
де ,
задовольняє властивості
, (2.7)
. (2.8)
Доведення. Перш за все відмітимо, що оператор задовольняє властивості (2.8), у
чому можна впевнетись безпосередньою перевіркою у всіх граничних точках, крім
кутових точок , у яких знаменник може дорівнювати нулю, тобто у яких цей
оператор невизначений. Якщо граничні функції – сліди в точці приймають
одинакове значення: , тобто задовольняють умови С.М.Нікольського (див. [7],
с.157), то існує неперервна функція, яку ми позначимо через із тими ж самими
властивостями, яка в кутових точках буде приймати значення . Це означає, що
функція , яка визначається формулою (2.5), буде задовольняти твердженню
теореми.
Теорема 2.1 доведена.
Зауваження 1. Запис означає, що функція є неперервною разом з усіма своїми
частинними похідними до порядку . Тому, запис (2.7) слід розуміти так: якщо
функція , як функція двох аргументів, істотно належить до класу (тобто, деякі
або всі похідні - го порядку розривні), то функція буде істотно належати до
класу .
Зауваження 2. Знаменники функції більші нуля , але в точках можуть дорівнювати
нулю.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. , .
Тоді оператор
(2.9)
має такі властивості (див. рис. 2.1):
(2.10)
(2.11)
Зауважимо, що допоміжні функції
,
мають знаменники, які дорівнюють нулю в точці , але:
, , ; .
Рис. 2.1. Оператор , визначений (2.9), інтерлінує на осях координат (крім точки
), тобто має властивості (2.10), (2.11).
Приклад 2. Хай , ;
(див. рис. 2.2).
В цьому випадку оператор можна представити у вигляді:
(2.12)
де
Оператор має такі властивості:
(2.13)
(2.14)
або .
В цьому прикладі знаменник теж дорівнює 0 в точці і в інших вершинах
трикутника. Це означає, що формули раціональної