РОЗДІЛ 2
БАЛАНСНЕ НАБЛИЖЕННЯ ІЗ ЗАДАНОЮ ТОЧНІСТЮ
У розділі досліджено властивості та розроблено алгоритми знаходження параметрів
та похибки балансного наближення чебишовськими сплайнами із ланками у вигляді
раціональних виразів (раціональних многочленів) із заданою похибкою. Побудова
таких балансних наближень дозволяє моделювати сенсори за їх функціями
перетворення з наперед заданою точністю, що дає можливість знаходити
високоточне апроксимаційне представлення градуювальних характеристик первинних
перетворювачів у простій та зручній формі для технічної реалізації. Знаходження
оптимального з точки зору мінімізації похибки при заданій кількості параметрів
наближення поліпшує результат апроксимаційного представлення функцій
перетворення сенсорів.
Для знаходження чисельних значень похибок балансного наближення аналітичних
функцій чебишовськими сплайнами та вибору оптимального за точністю
наближувального виразу необхідно мати аналітичні вирази ядер для конкретних
наближувальних виразів . Ці вирази для ядер не повинні залежати від параметрів
найкращих чебишовських наближень.
Вирази для ядер наближення аналітичних функцій раціональними многочленами
розглядались в розділі 1. Та оскільки розклад багатьох математичних функцій в
ряд Лорана в околі точки має вигляд
,
такі функції логічно наближати чебишовськими сплайнами із ланками у вигляді
раціональних виразів від
, (2.1)
де та - цілі числа, . Для парних функцій ; для непарних - .
Вирази для ядер наближення раціональними многочленами від (2.1) невідомі та
будуть встановлені далі.
2.1. Ядро наближення раціональними
многочленами від
Для визначення виразів для ядер раціонального наближення (2.1) доведемо теорему
[56]. Попередньо встановимо дві леми.
Лема 2.1. Нехай . Тоді
(2.2)
Доведення. Нехай спочатку і ядро наближення функції відоме. Похибка балансного
наближення функції на проміжку за допомогою сплайна з ланками вигляду при у
відповідності з виразом (1.31) рівна
Зробивши в цьому виразі заміну , запишемо
Ясно, що значення останнього виразу рівне максимальній похибці балансного
наближення функції на проміжку сплайном із ланками - найкращими чебишовськими
наближеннями функції на підінтервалах за допомогою виразів . Виходячи із
формули (1.31) цю похибку можна записати через ядро у вигляді
Оскільки значення двох останніх виразів рівні для довільних проміжків () та
функцій , то рівні і їх підінтегральні вирази. Звідси слідує справедливість
формули (2.2) при . Справедливість формули (2.2) при довільному випливає із
виразу для ядра наближення функцією (1.20). Лему доведено.
Лема 2.2. Нехай . Тоді для має місце
(2.3)
де
, . (2.4)
Доведення. Позначимо
(2.5)
Із рівності (2.5) випливає
Помноживши ліву і праву частини останньої рівності на , одержуємо
. (2.6)
У відповідності із позначенням (2.5) ліва частина рівності (2.6) рівна . Тому
для справедливе рекурентне співвідношення
. (2.7)
Із рівності (2.5) випливає, що
(2.8)
Позначимо . Тоді із співвідношення (2.8) одержуємо
,
а з рекурентного співвідношення (2.7) –
,
,
.
Із рівності (2.6) одержуємо
. (2.9)
Тобто, формули (2.3), (2.4) та лему 2.2 доведено.
Теорема 2.1. Нехай і при . Тоді похибка балансного наближення на проміжку
функції за допомогою сплайна із ланками - найкращими з вагою чебишовськими
наближеннями раціональними виразами (2.1) із заданою кількістю ланок при
визначається виразом
(2.10)
де
(2.11)
(2.12)
(2.13)
а визначається із рекурентного співвідношення
(2.14)
Доведення. При теорема справедлива, її доведення наведено у роботі [51]. При
цьому .
Нехай . Тоді за лемою 2.1, формулою (2.11) при та лемою 2.2 маємо
(2.15)
де
Підставляючи величини у визначник та проводячи необхідні спрощення, одержуємо:
Тому
Підставляючи це значення у вираз (2.11) для ядра, одержуємо
(2.16)
Застосовуючи до формули (2.16) співвідношення (2.3) при , одержуємо
.
Теорему доведено.
2.2. Приклади знаходження ядер наближення
Розглянемо приклади знаходження аналітичних виразів для ядер наближення (2.11)
для конкретних та .
Приклад 2.1. Знайти аналітичні вирази для ядер наближення парних функцій при ,
, .
,
,
.
Приклад 2.2. Знайти аналітичні вирази для ядер наближення непарних функцій при
, , .
,
,
.
Приклад 2.3. Знайти аналітичні вирази для ядер наближення довільної функції при
, та довільному .
,
.
Приклад 2.4. Для функції знайти вирази для ядер наближення при .
,
.
Приклад 2.5. Для функції знайти вирази для ядер наближення при .
.
Відповідні аналітичні перетворення для отримання виразів для ядер важко
виконати вручну. Це можна зробити за допомогою систем комп’ютерної алгебри.
Деякі методи виведення аналітичних виразів для ядер наведені у роботах [57,
107, 108].
2.3. Алгоритм знаходження найкращого чебишовського раціонального наближення
Існування, єдиність та характеристичні властивості найкращого зваженого
раціонального наближення вигляду (2.1) неперервної на проміжку функції
встановлюються теоремою Чебишова [2].
Для побудови найкращого чебишовського раціонального наближення використовуються
ітераційні методи типу Ремеза [66, 67], основними кроками яких є:
* вибір початкових значень точок чебишовського альтернансу на проміжку ;
* здійснення чебишовської інтерполяції на даній множині точок;
* заміна точок чебишовського альтернансу, у випадку не виконання умови
. (2.17)
Щоб позбутися зайвого параметра у можна прийняти , так як чисельні значення
наближення не зміняться, якщо чисельник та знаменник поділити на одне і те ж
число. У деяких випадках зручно прийняти .
Швидкість збіжності цього алгоритму залежить від вибору початкового наближення
- Київ+380960830922