РАЗДЕЛ 2
МЕТОД МАКСИМИЗАЦИИ ПОЛИНОМА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ОЦЕНОК УГЛА ПРИХОДА СИГНАЛА НА
МНОГОЭЛЕМЕНТНУЮ АНТЕННУЮ РЕШЕТКУ
Известно, что многоканальная обработка сигналов позволяет повысить точность
результатов, поэтому, при нахождении угла прихода сигнала необходимо
рассмотреть случай, когда сигнал принимается многоэлементной антенной решеткой.
Для этого нужно разработать метод оценивания параметров векторной случайной
величины.
Одним из эффективных направлений в теории обработки сигналов является
использование стохастических полиномов, что и лежит в основе метода
максимизации полинома, описанного в предыдущей главе. Однако метод максимизации
полинома, в работе [56], обоснован только для случая, когда наблюдаемая
случайная величина является скалярной, тогда как при приеме сигнала
многоэлементной антенной решеткой наблюдается векторная случайная величина.
Поэтому в данном разделе необходимо усовершенствовать метод максимизации
полинома для случая нахождения оценок параметров при наблюдении векторной
случайной величины, доказать, что оценки, полученные модернизированным методом,
будут асимптотически несмещенными, состоятельными и с минимальной дисперсией
при заданной степени стохастического полинома.
Также в разделе исследуются основные свойства и характеристики стохастического
полинома, исходной величиной которого является векторная случайная величина.
2.1. Усовершенствование метода максимизации полинома на случай нахождения
оценки параметра векторной случайной величины
Рассмотрим постановку задачи оценки параметра на случай векторной случайной
величины. Пусть -элементная антенная решетка. принимает полезный сигнал на фоне
негауссовских помех. В этом случаи на выходе приемного устройства будет
наблюдаться векторная случайная величина размера . И пусть из этой векторной
случайной величины производится выборка , которая представляет собой вектор,
компонентами которого также будут векторы , т.е. выборки объемом из -ой
компоненты векторной случайной величины
, .
Предположим, что полученные выборочные значения из выборок будут независимыми,
неодинаково распределенными и, что каждое выборочное значение , из -ой
компоненты векторной случайной величины, описывается последовательностью
начальных моментов -го порядка , , зависящих от одного и того же, параметра .
Причем выборка производится, когда этот параметр принимает истинное значение .
Аналогично, как и для скалярной случайной величины будем считать, что для любых
, и начальные моменты -го порядка -ой компоненты векторной случайной величины
существуют и, как функции параметра , ограничены, т.е. существуют такие
константы , что для
, ,
и дважды дифференцируемы по параметру . Задача состоит в том, что по выборке
необходимо найти оценку параметра .
Используя результаты работы [56], можно показать, что в случае векторной
случайной величины, для нахождения оценки скалярного параметра методом
максимизации полинома необходимо использовать степенной стохастический полином
-ой степени вида
, (2.1)
где коэффициенты и соответственно равны
, , (2.2)
где коэффициенты находятся из решения системы линейных алгебраических
уравнений
, , (2.3)
где
Стохастический полином (2.1) обладает свойствами, аналогичными свойствам
стохастического полинома для скалярной случайной величины. Поэтому, так же как
и в методе максимизации полинома для случая скалярной случайной величины, в
качестве оценки берется то значение, при котором стохастический полином (2.1)
достигает максимального значения.
Так как стохастический полином дифференцируем по , то оценку параметра
векторной случайной величины можно находить из решения уравнения
которое в развернутом виде будет равно
. (2.4)
Следовательно, метод максимизации полинома, при нахождении оценки параметра
векторной случайной величины при неодинаково распределенных выборочных
значениях состоит в том, что при заданной выборке оценка параметра находится из
решения уравнения (2.4), в котором коэффициенты находятся из решения системы
линейных алгебраических уравнений (2.3).
2.3. Состоятельность оценки параметра векторной случайной величины
Оценка, найденная из решения уравнения (2.4), должна удовлетворять требованиям,
перечисленным в пункте 1.3., т. е. быть состоятельной, асимптотически
несмещенной с минимальной дисперсией.
Сначала докажем состоятельность оценки скалярного параметра векторной случайной
величины, найденной методом максимизации полинома из уравнения (2.4), т. е.
Для этого умножим выражение (2.4) на . Тогда математическое ожидание левой
части будет равно
. (2.5)
Очевидно, это выражение равно нулю при . С другой стороны, можно показать, что
при каждых и имеет место следующая сходимость по вероятности
. (2.6)
Правая часть выражения (2.6) для любого i представляет собой выборочное среднее
независимых случайных величин с различными математическими ожиданиями. Согласно
теореме Маркова, о сходимости по вероятности выборочного среднего независимых
случайных величин с различными математическими ожиданиями к среднему
математических ожиданий [85], достаточно, чтобы
. (2.7)
Так как начальные моменты ограниченны, то и функции будут ограничены
В свою очередь, коэффициенты для каждых , и также являются относительно
параметра ограниченными функциями, т.е.
, , (2.8)
где - некоторые константы. Выражение (2.8) является следствием того, что
матрица положительная полуопределенная [56], и ее определитель .
Тогда неравенство (2.8) для и можно записать в следующем виде
. (2.9)
Из всех чисел и , , возьмем
- Київ+380960830922