РОЗДІЛ 2
Інтегральні ігри зближення
В цьому розділі досліджується ігрова задача зближення для конфліктно-керованого процесу, рух якого задається системою лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, з термінальною множиною вигляду (1.2).
Вважємо що у грі беруть участь два гравці Р і Е, в розпорядженні яких знаходяться керування і відповідно. Ці керування вибираються у вигляді функцій з множин , . Цілі гравців аналогічні тим, що визначені в розділі 1.
2.1. Постановка задачі
Нехай рух системи задається інтегральним рівнянням Вольтерра наступного вигляду
, , , (2.1),
де ; - -мірна вектор-функція, неперервна на множині ; , - матричні функції порядків , відповідно, неперервні в замкнутому нескінченному трикутнику
Вважаємо, що функція є неперевною за сукупністю змінних , .
Будемо розглядати ігрову задачу зближення траєкторії системи (2.1) із термінальною множиною (1.2). Для того щоб застосувати загальні результати розділу 1 і побудувати позиційне керування гравця P, за допомогою якого розв'язується задача зближення, знайдемо представлення розв'язку рівняння (2.1).
2.2. Представлення розв'язку
Для отримання представлення розв'язку рівняння (2.1) використаємо теоретичні результати робіт [10, 11, 24, 41, 42, 49, 62].
Лема 2 ([62]) Нехай , матрична функція порядку , є неперервною в замкнутому трикутнику
, ,
функція є неперервною на відрізку . Тоді рівняння
, ,
має єдиний неперервний на відрізку розв'язок. Цей розв'язок можна представити у вигляді
, ,
де - резольвента матриці , , матрична функція, що визначається рядом
, (2.2),
де
, , (2.3)
Наслідок На довільному відрізку , рівняння (2.1) має єдиний неперервний розв'язок . Цей розв'язок можна представити у вигляді
, , (2.4)
де
, (2.5)
(2.6),
матрична функція, яка є неперервною в трикутнику .
Доведення наслідку з використанням формули Діріхле [22] проводиться аналогічно [79]. Покажемо лише, що функція є неперевною у відкритому трикутнику .
Перший доданок у виразі (2.6) для функції , очевидно, може мати розрив лише при . Дійсно, при цей доданок неперервний в трикутнику , а при , він розривний лише на прямій . Розглянемо другий доданок. Будемо розрізняти два випадки: перший, коли , і другий, коли . Перший випадок будемо називати неперервним, другий - випадком слабкої особливості. Відмітимо деякі важливі в подальшому факти. З теорії інтегральних рівнянь [62] відомо, що в неперервному випадку ітеровані ядра , є неперевними в трикутнику . В випадку слабкої особливості ітеровані ядера , , можуть бути представлені у вигляді
,
де - неперервні на множині матричні функції.
Починаючи з номера , такого що , ядра є неперервними на множині . Декілька перших ітерованих ядер, для яких , мають полярну особливість при .
Враховуючи рівномірну неперевність функції [62], для другого доданку в виразі (2.6) використаємо можливість почленного інтегрування, отримаємо
.
Оцінемо інтеграл
,
Маємо
Функції , - неперевні в трикутнику , тому
можна записати
,
де - деяке додатне число. Обчислимо інтеграл
.
Цей інтеграл дорівнює
,
де - бета функція, значення якої є скінченим, оскільки , . З цього випливає, що функцію можна представити у вигляді
,
де деяка неперевна функція в трикутнику . Зрозуміло, що функція не може мати інших розривів, ніж при .
Таким чином, функція не може мати інших розривів, ніж при . Це означає, що в трикутнику ця функція неперервна.
2.3. Приклади резольвент
Для деяких типів ядер вдається знайти резольвенти в аналітичому вигляді. Приведемо декілька таких прикладів.
Нехай
, , (2.7)
де - гама-функція Ейлера [3], - квадратна матриця порядку . Згідно формулам (2.3)
,
,
де в проміжних розрахунках - позначення бета-функції. Аналогічно,
По індукції,
,
За формулою (2.2) резольвента дорівнює
Тобто
, (2.8)
де - узагальнена матрична функція Міттаг-Лефлера [15, 16]. Ця функція визначається наступним чином
де - довільне додатне число, - довільне комплексне число, - довільна квадратна матриця порядку з коплексними елементами.
Розглянемо деякі частинні випадки.
Нехай в формулі (2.7) . Тобто , тоді згідно формулі (2.8) отримуємо
, (2.9),
де - експонента матриці [33].
Нехай, наприклад, в формулі (2.7) . Тобто , тоді згідно формулі (2.8) отримуємо
.
Якщо , де - одинична матриця, то,
(2.10),
де - позначення гіперболічного синуса.
Далі, нехай , і - дійсні числа. Тоді, згідно формулам (2.3)
, ,
звідки за формулою (2.8) отримуємо
.
Розглянемо випадок, коли , - дійсне число. В такому випадку
, ,
Тоді за формулою (2.8) отримуємо
.
2.4. Застосування методу позиційних керувань
Введемо позначення
де функції , визначаються рівностями (2.5), (2.6). Очевидно, функції , задовольняють умови 1, 2. Тоді розв'язуючи задачу зближення для процесу (2.1), можно використовувати результати розділу 1, а саме теорему 1.
2.5. Зв'язок між інтегральними та диференціальними іграми зближення
Розглянемо квазілінійну гру зближення з термінальною множиною (1.2) для процесу вигляду
, , , , (2.11),
де - квадратна матриця порядку з неперервними на множині елементами, , як і раніше, -мірна вектор-функція, неперервна за сукупністю своїх змінних і .
Очевидно, така диференціальна гра зможе бути зведена до інтегральної. Дійсно, проінтегруємо обидві частини рівняння (2.11) в межах від до , отримаємо
, , (2.12)
де , , , - одинична матриця порядку , тобто
, . (2.13)
Розв'язок інтегральної