РОЗДІЛ 2
АНАЛІЗ ВЛАСТИВОСТЕЙ МНОЖИНИ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛЕЙ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
Як було відмічено у розділі 1 одною із основних задач, яка виникає при побудові
моделей динамічних систем на основі інтервальних даних похибками є задача
ідентифікації моделей “вхід-вихід”.
Більшість підходів, розглянутих у розділі 1, переважно базуються на
ймовірнісній природі похибок. Проте, за умов обмежених за амплітудою похибок,
використовують методи аналізу інтервальних даних. В цьому випадку задача
параметричної ідентифікації лінійних динамічних систем зводиться до розв’язання
інтервальної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Точний розв’язок інтервальної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, який
визначатиме множину параметрів динамічної моделі “вхід-вихід”, являє собою
множину у вигляді багатовимірного многогранника, точний опис якого у випадку
великої кількості параметрів моделі є неможливим. Зважаючи на це, всі існуючі
методи оцінювання розв’язків ІСЛАР спрямовані на знаходження допускових [45,
60, 103, 109] чи гарантованих [64, 76, 108] інтервальних оцінок параметрів
моделі. Геометрично в просторі оцінюваних параметрів ці множини розв’язків є
прямокутним паралелепіпедом, вписаним (у випадку допускового розв’язку) чи
описаним (у випадку гарантованого розв’язку) в многогранну область розв’язків
ІСЛАР.
Для задач параметричної ідентифікації динамічних моделей найбільш придатним є
знаходження допускових інтервальних оцінок параметрів, які забезпечують, при
заданих вхідних змінних, допусковий коридор для кожної вихідної характеристики
системи. Цей коридор охоплює усі інтервальні динамічні моделі “вхід-вихід”.
Переважно інтервальне оцінювання розв’язків ІСЛАР побудоване на двокрокових
методах. Перший крок полягає у знаходженні одного допускового розв’язку [109],
а наступний – у знаходженні інтервальних оцінок параметрів навколо знайденого
розв’язку. Перший крок вирізняється надзвичайною обчислювальною складністю. До
того ж в практичних задачах параметричної ідентифікації динамічних моделей
“вхід-вихід” часто достатнім є знаходження будь-якого допускового коридору
інтервальних моделей або хоча б однієї моделі, яка б належала цьому коридору.
Для розробки методу знаходження допускового розв’язку інтервальної системи
лінійних алгебраїчних рівнянь – вектора параметрів динамічної моделі
“вхід-вихід”, який відзначаються низькою обчислювальною складністю, надійністю,
високою збіжністю та адаптивністю до змінних властивостей реальних динамічних
систем необхідно провести ґрунтовні дослідження властивостей множини оцінок
параметрів моделей динамічних систем.
2.1. Особливості формування інтервальної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
в задачах параметричної ідентифікації моделей динамічних систем
Розглянемо особливості формування інтервальної системи лінійних алгебраїчних
рівнянь під час розв’язку задачі параметричної ідентифікації лінійних
динамічних систем, при цьому приймемо такі припущення.
Н1. Динамічна система (об’єкт) описується різницевими рівняннями – рівняннями
динаміки (2.1) та рівняннями каналу вимірювання (2.2):
, (2.1)
, (2.2)
де - час, який змінюється дискретно і приймає цілочисельні значення ;
- вектор (розмірності ) виміряних значень «виходів» системи;
- вектор (розмірності ) змінних стану системи в -й дискретний момент часу;
- вектор (розмірності ) змінних стану системи в -й дискретний момент часу;
- вектор (розмірності ) вхідних змінних в -й дискретний момент часу;
- невироджена квадратна матриця (розмірності ), при цьому будемо рахувати, що
ранг матриці ;
, - матриці (розмірності ) параметрів динамічної моделі, елементи яких
необхідно ідентифікувати.
Н2. Нехай:
- вектор випадкових, обмежених за амплітудою похибок і при цьому припустимо,
що:
(2.3)
Для спрощення, розглядатимемо системи зі скалярним «входом», тобто будемо
рахувати, що в рівняннях (2.1) вектор є скалярним, а матриця має вигляд .
Процедура розрахунку стану системи наступна. Нехай в деякий момент часу стан
системи відомий. Тоді для визначення стану необхідно виконати дві операції: 1)
задати вхід та похибку вимірювання ; 2) визначити стан в наступний момент часу
відповідно до (2.1). Задану процедуру можна послідовно виконати для всіх .
Послідовність станів називають траєкторією системи.
Із врахуванням рівнянь каналу вимірювання (2.2) та обмеженості амплітуди
похибок , заданої виразом (2.3) рівняння каналу вимірювання представимо в
інтервальному вигляді
, , (2.4)
де - одиничний вектор.
Вводимо позначення - обернена матриця до матриці . Зауважимо, що згідно
припущення остання є невиродженою.
Тоді рівняння каналу вимірювання (2.4) можна переписати у вигляді
,
. (2.5)
Позначимо:
Тоді система (2.5) матиме вигляд:
. (2.6)
Інтервальну оцінку , із використанням інтервальної арифметики, можна
представити у вигляді
, . (2.7)
Підставимо оцінки вектора змінних стану , задані нерівностями (2.6), та
інтервальну оцінку , задану системою інтервальних рівнянь (2.7), у систему
(2.1). Отримаємо таку систему:
, (2.8)
де - вектор-стрічка матриці розмірності .
Система (2.8) є інтервальною системою лінійних алгебраїчних рівнянь відносно
коефіцієнтів матриць та . Її розв’язок є розв’язком задачі параметричної
ідентифікації інтервальних моделей лінійних дискретних динамічних систем
[138-143].
Попри існуючі методи розв’язування таких систем в інтервальному аналізі [3, 52,
134-136, 139-140, 149], як правило, шукають гарантовані інтервальні оцінки
коефіцієнтів матриць та , що є неприйнятним з точки зору практичного
використання побудованих моделей динаміки.
З іншого боку, аналіз розв’язків си
- Київ+380960830922