РАЗДЕЛ 2
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА С ОДНОСТОРОННЕ-РАСПОЛОЖЕННЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ И БОЛЬШИМ СКАЧКОМ ПОТЕНЦИАЛА НА ГРАНИЦЕ ЭЛЕКТРОДА
В этом разделе рассматривается математическая модель односторонне-выпуклой пьезоэлектрической пластины с односторонне-расположенными электродами возбуждающего колебания сдвига по толщине. Пластины такого вида на данный момент не изучены. При этом тот факт, что одна из поверхностей пластины не покрыта электродами, является очень привлекательным для практического применения и массового производства резонаторов на основе таких пластин. В резонаторах такого вида возникает новый тип колебаний, локализованных возле границы электрода [14, 17]. Разные предположения о характере потенциала на границе электрода позволяют рассматривать две математические модели резонатора. В модели, рассматриваемой в этом разделе, скачок потенциала на границе электрода предполагается значительным, и в этом случае частотный спектр имеет специфическую структуру, выраженную нелинейным отношением:
где индексы k и l традиционно обозначают ангармоническую моду колебаний, а и являются константами, полученными при решении уравнения колебаний.
2.1. Вывод формулы для частотного спектра
Рассмотрим круглую выпуклую пьезоэлектрическую пластину, радиус кривизны верхней поверхности которой и максимальная толщина . Два электрода одинаковой формы симметрично расположены на верхней выпуклой поверхности пластины (рис. 2.1). Электроды представляют собой нанесенные на пластину полоски, ограниченные краем пластины, граница которых имеет форму двух параллельных линий с примыкающей к ним полуокружностью [65-68].
а)
б)
Рис. 2.1. Модель выпуклой пьезоэлектрической пластины (сечение): и - повернутые оси кристаллической пластины
Частотный спектр колебаний пластины без учета влияния односторонне-расположенных электродов может быть найден при решении эффективного дифференциального уравнения [85]
, (2.1)
где и собственные значения тензора , определяющего пьезоэлектрические свойства кристалла.
В работе [68] было показано, что скачок потенциала на границе электрода существенно влияет на граничные условия для нахождения решения уравнения (2.1). Было также выявлено [57, 58], что если считать скачок большим, то в полосе частот
где и фундаментальные частоты снаружи и внутри электрода, а определяется скачком потенциала на границе электрода, при решении уравнения (2.1) можно использовать нулевое граничное условие [23]
что соответствует первому порядку точности по отношению к малому параметру .
Введем коэффициент . После этого сделаем замену переменных для того, чтобы избавиться от коэффициентов при частных производных второго порядка в уравнении (2.1):
(2.2)
В результате получим
. (2.3)
Воспользовавшись произвольностью , положим . Тогда (2.3) примет вид
, (2.4)
где .
В этом случае формула для искомого спектра частоты будет выглядеть как
. (2.5)
Рассмотрим границу электрода (рис. 2.2). Здесь - угол между собственной осью пластины и осью, на которой лежат центры электродов, - кратчайшее расстояние между центром координат и электродом, - ближайшая к центру координат точка электрода, - радиус границы электрода в точке .
Рис. 2.2. Одностороннее расположение электродов относительно собственных осей пластины
Уравнение границы электрода в системе координат :
Система координат преобразуется к по формулам
Тогда в исходной системе координат уравнение границы электрода будет иметь вид
Запишем уравнение границы в координатах с учетом формул преобразования (2.2):
Тогда в системе координат граничное условие для уравнения (2.4) примет вид
. (2.6)
Введем новые переменные:
Отсюда:
, (2.7)
где
Тогда граничное условие (2.6) примет вид
Теперь преобразуем уравнение (2.4). Для этого запишем выражения для частных производных в новых координатах [2].
Выражение для лапласиана примет вид
. (2.8)
Из (2.7) легко получить следующее соотношение
. (2.9)
Подставляя (2.8) и (2.9) в (2.4), получим
.(2.10)
Соответствующее (2.10) граничное условие имеет вид
, (2.11)
где
. (2.12)
Введем переменную
Тогда (2.10) примет вид
(2.13)
При этом формула для частоты (2.5) преобразуется в
. (2.14)
Сделаем замену переменных
В новых переменных для лапласиана справедлива формула
и выражение в квадратных скобках в (2.13) имеет вид
Таким образом, уравнение (2.13) имеет вид
. (2.15)
При этом граничное условие (2.11) преобразуется в
, (2.16)
где
. (2.17)
Используя тождество
перепишем (2.13) в виде
Преобразованное уравнение имеет вид
. (2.18)
Определим функции и через следующие формулы
.
Тогда (2.18) запишем в виде
. (2.19)
Решим вспомогательное уравнение
. (2.20)
Для этого введем переменную
. (2.21)
Тогда уравнение (2.20) примет вид
.
Из условия получим
. (2.22)
Таким образом, необходимо решить уравнение
.
Перепишем (2.21) с учетом (2.22):
. (2.23)
Введем функцию
. (2.24)
Тогда (2.23) преобразуется в
.
Пусть
, (2.25)
где - корни функции Эйри, так что [22].
Тогда из (2.25) и следовательно
. (2.26)
Как известно, решением
является
Тогда решением
будет
При этом легко убедиться, что
Решение основного уравнения (2.19) будем искать в виде
. (2.27)
Выпишем выражения для частных производных до второго порядка включительно.
, (2.28)
, (2.29)
, (2.30)
, (2.31)
. (2.32)
Формулы (2.28)-(2.31) получаются дифференцированием выражения (2.27) по соответствующим переменным. Для доказательства формулы (2.32) было использовано известное соотношение для функции Эйри [19]:
. (2.33)
Формулы (2.30)-(2.32) используем для преобразования уравнения (2.15),