РОЗДІЛ 2
МЕТОД ДИНАМІЧНИХ ІНВАРІАНТІВ ТА ЙОГО
ЗАСТОСУВАННЯ ДО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ
2.1. Теоретико-групове узагальнення задач спектрального аналізу
динамічних систем
Методи теорії груп дозволяють виділити в динамічній системі найбільш характерну ознаку, що або залишається постійною, або змінюється за відомим законом у процесі еволюції системи в часі або просторі. Для цього в системі необхідно виділити групу перетворень, що зберігають властивості системи й, разом з тим, формують її еволюцію, і носій групи - об'єкт системи, над яким здійснюється група перетворень. Відображення групи перетворень на її носій відомо як представлення групи [81]. Використання теоретико-групових методів і їхнє представлення в задачах аналізу й синтезу технічних систем розглянуто в роботах [82,83]. Спектральний аналіз на групах і його зв'язок з аналізом і синтезом динамічних систем, кореляційним аналізом випадкових процесів розглянутий у роботах [84-94]. Для аналізу динамічних об'єктів використовують групу операторів узагальненого зсуву (ОУЗ), що узагальнюють дискретний або континуальний зсув уздовж осі координат часу або простору. ОУЗ являють собою внутрішню структурну характеристику лінійної динамічної системи (ЛДС), таку, що дія ОУЗ на ЛДС залишає її незмінною. Формально це означає, що оператор ЛДС і її власний ОУЗ комутирують - зсув на вході ЛДС відображається в такий же зсув на виході. Оператори зсуву, що пов'язані з диференціальними рівняннями, досліджені в монографії [84]. У роботі [85] ОУЗ отримані на основі задачі Штурма-Ліувілля на власні функції. Стосовно до цифрової обробки сигналів в ортогональних базисах мультиплікативних функцій у роботах [86,87] були визначені матричні оператори зсуву, що в роботах [88-90] були узагальнені і систематизовані. У роботі [91] вивчений клас Т- варіантних процесів як узагальнення поняття стаціонарних у широкому розумінні випадкових процесів. Вибір оператора Т- зсуву й пов'язаної з ним системи власних функцій дозволяє операцією стаціонаризації виділити в аналізованих даних процес із властивістю Т-стаціонарності. Розкладання такого процесу по власних функціях ОУЗ є канонічним і пов'язаний з Т- кореляційною функцією узагальненою теоремою Вінера-Хінчина. Розглянемо основні положення груп перетворень зсуву і їхній зв'язок із задачами спектрального аналізу [88,89].
У прикладних задачах обробки результатів вимірювань як носії групи виступають матриці або вектори комплексних або дійсних відліків дискретизованих даних. Групу утворюють лінійні операції над векторами або матрицями. Разом, поле матриць даних і група операцій над ними, утворюють алгебру, замкнуту щодо операцій групи. Алгебра має функціональну повноту, таку, що при нескінченності групових операцій вона повністю характеризується кінцевою множиною елементів, що можуть бути представлені групою характерів - повною ортогональною мультиплікативною системою функцій , де - елементи групи G, - номер функції. Ортогональність означає, що , де - дельта-функція, мультиплікативність - . Довільна функція на групі може бути представлена рядом Фур'є
, (2.1)
де
, (2.2)
* - комплексне сполучення. Зсув функції на групі здійснюється перетворенням аргументу: - правий зсув; - лівий зсув, де - операція на групі, така що G. Ряд Фур'є (2.1) для зсунутих функцій має вигляд
, (2.3)
. (2.4)
З виразів (2.3) і (2.4) з урахуванням рівняння (2.2) і властивості ортогональності можна одержати явний вираз для ОУЗ. Для цього запишемо рівняння зсуву для однієї з базисних функцій як
. (2.5)
Помножимо обидві частини виразу (2.5) на й просумуємо по , тоді
. (2.6)
Представимо перетворення (2.1) і (2.2), задані на кінцевій дискретній групі об'ємом , як операції з матрицями відліків функцій характерів групи:
; (2.7)
. (2.8)
Використовуючи перетворення (2.7) і (2.8), операцію зсуву (2.5) можна представити як
. (2.9)
За аналогією зі звичайним зсувом (авто)кореляційна функція і її спектр на групі мають вигляд:
. (2.10)
Вираз (2.10) представляє собою узагальнення теореми Вінера-Хінчина. Кореляційна матриця
(2.11)
перетворенням Фур'є в базисі власних функцій ОУЗ диагоналізується:
. (2.12)
Із властивостей мультиплікативності й ортогональності базису характерів і визначення ОУЗ як (2.6) слідують наступні властивості динамічної інваріантості:
- кореляційна функція (2.7) - варіантного процесу на групі інваріантна до дії ОУЗ (2.6):
; (2.13)
- як наслідок рівняння (2.13), енергетичний спектр в базисі характерів інваріантний до зсуву даних на групі;
- як наслідок рівняння (2.12), кореляційна матриця - варіантного процесу на групі інваріантна до дії ОУЗ (2.9) виду:
. (2.14)
Рівняння (2.13) і (2.14) узагальнюють властивість стаціонарності на класи процесів, заданих на групах. Група може містити кінцеве число елементів, тоді перетворення виду зводяться до тривіальної перестановки послідовності елементів. Група також може мати нескінченне число елементів, у цьому випадку характери визначають по підгрупі, що успадковує представлення у вигляді ряду Фур'є (2.1), (2.2). Однак властивості характерів для таких груп однозначно не визначені й можуть бути встановлені стосовно до конкретного застосування [81]. Прикладом кінцевої групи може бути група циклічного зсуву, характерами якої є дискретні експонентні функції (ДЕФ)
.
Нескінченні групи можуть утворювати сигнали з суцільним спектром, їхні властивості будуть розглянуті нижче.
Як видно з рівнянь (2.6) і (2.9), динаміку зсуву визначають характери групи, вони ж і дозволяють одержувати спектральні характеристики із властивістю стаціонарності. Вибравши як базис деяку систему лінійно незалежних функцій, можна визначити ОУЗ (2.9) і знайти спектрально-кореляційні характеристики ансамблю реалізацій довільного динамічного процесу [92]. Однак інваріантістю до зсуву даних спектрально-кореляційні характеристики