РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ВІДНОВЛЕННЯ ВНУТРІШНЬОЇ СТРУКТУРИ ТРИВИМІРНОГО ТІЛА НА СИСТЕМІ ТРЬОХ ГРУП ПЕРЕРІЗАНИХ ТОМОГРАМ ЗА ДОПОМОГОЮ ІНТЕРФЛЕТАЦІЇ ФУНКЦІЙ
2.1. Задачі прикладного характеру, що приводять до інтерфлетації функцій трьох змінних
В теорії наближення функцій двох і більше змінних в останні десятиліття інтенсивно розвивається розділ, присв'ячений побудові, дослідженню та деяким застосуванням операторів, які відновлюють (можливо, наближено) функції за відомими їх слідами та слідами їх частинних похідних до фіксованого порядку N на M (М?2) m - вимірних (0? m
Одним із застосувань інтерфлетації є наближення функцій трьох змінних за допомогою проекцій або томограм, що надходять з комп'ютерного томографа. Така задача виникає при аналізі отриманих томограм, який проводився після того, як пацієнт залишив томограф, коли лікареві для уточнення діагнозу потрібно отримати зображення внутрішньої структури тіла пацієнта в інших перетинах (в інших площинах).
Серед інженерних задач, які приводять до інтерлінації та інтерфлетації, слід відмітити наступні:
- Картографія дна океану за даними гідролокації;
- Побудова поверхні космічного тіла за даними радіолокації;
- Проектування корпусів літаків, суден, автомобілів та деякі інші.
2.2. Математичне моделювання в комп'ютерній томографії з використанням раціональної інтерфлетації на площинах в
2.2.1. Інтерфлетація функцій. Означення
Нехай - задані числа; - задані - вимірні () множини в - задані сліди деякої послідовності операторів на множинах . Часто позначають. Скалярозначна функція може бути невідомою. Оператори можуть бути частинними (або нормальними) похідними ( тут - вектор нормалі до , якщо ). Диференціальні оператори можуть мати також більш загальний вигляд.
Означення 2.1. Оператори
називатимемо операторами інтерфлетації, якщо
Очевидно, оператори відновлюють (можливо наближено) функції багатьох змінних за допомогою вказаної інформації. У випадку множини є точками в і сліди є значеннями функції та її похідних в точках . Тоді оператори називають інтерполяційними операторами на М точках.
Якщо , то множини є лініями в і називатимемо операторами інтерлінації.
У випадку будемо називати операторами інтерфлетації.
Якщо оператори лінійно залежать від слідів , , тобто
де - деякі допоміжні функції, що не залежать від наближуваної функції , а залежать лише від параметрів геометричних об'ктів і від типу операторів , сліди яких використовують для наближення. То такі оператори називають лінійними операторами інтерфлетації. В іншому випадку їх називають нелінійними операторами інтерфлетації, або просто нелінійними інтерфлетантами.
Означення 2.2. Якщо допоміжні функції є раціональними, поліноміальними, тригонометричними функціями, або сплайнами, то таку інтерфлетацію називають відповідно раціональною, поліноміальною, тригонометричною, сплайн - інтерфлетацією.
Це означення повністю поширюється на випадок довільної системи поверхонь в різної розмірності.
Зауважимо, що сліди є функціями змінних (параметрів), бо стільки змінних (параметрів) потрібно для визначення точки на - вимірній поверхні .
2.2.2. Математичне моделювання в комп'ютерній томографії з використанням раціональної інтерфлетації на площинах за відомими томограмами на цих площинах без збереження класу
Для побудови математичної моделі відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла будемо використовувати поняття раціональної інтерфлетації, яке наведено в роботі О.М. Литвина [53], та поняття томограми в математичному сенсі, яке дається нижче. Під виразом "відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла" надалі будемо вважати відновлення просторово змінного коефіцієнта поглинання всередині тривимірного тіла.
Нехай функцією задається щільність тривимірного тіла, яку треба відновити, якщо відомі зображення (томограми) цієї функції на системі площин, що задаються нормальними рівняннями
.
Означення 2.3. Томограмою (див. рис. 2.1) (слідом функції ) на площині за умови, що коефіцієнти або або , не дорівнюють нулю, будемо називати одну з трьох функцій
де - вирази, що отримуються розв'язанням рівняння відносно змінної . Якщо залежить від однієї або двох змінних, то томограмою на будемо називати, відповідно, дві або одну функції. Наприклад, якщо , то томограмою на цій площині буде функція або функція . Якщо , то томограмою на цій площині буде одна функція .
Таким чином, поняття томограми включає до себе площину і функцію, задану в точках цієї площини. Але за виглядом не можна відновити просторово змінний коефіцієнт поглинання всередині тривимірного тіла (внутрішню структуру).
Рис. 2.1. Графічна ілюстрація поняття томограми
Уведемо позначення :
,
Зауважимо, що оператори є операторами - кратного диференціювання за нормаллю до поверхні . Уведемо систему функцій
,