РОЗДІЛ 2
СТІЙКІСТЬ РОЗВ'ЯЗКІВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ З ПУАССОНОВИМИ ЗБУРЮВАННЯМИ
2.1. Існування і єдиність сильних розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь нейтрального типу з пуассоновими збурюваннями
Нехай заданий повний стохастичний базис з фільтрацією , з якою узгоджені стандартний вінерів процес і центрована пуассонова міра .
Через будемо позначати простір Скорохода неперервних справа функцій , які визначені на і мають границі зліва, де .
Нехай - простір невід'ємних монотонно зростаючих функцій із напівнормою
.
Означення 1. Резольвентою ядра на називається функція на така, що розв'язок рівняння
можна представити у вигляді
Нехай - множина невід'ємних неспадних по функцій , таких, що , а - підмножина функцій , для яких ядро має резольвенту в .
Будемо використовувати для елементів простору напівнорму
де .
Нехай - простір обмежених -вимірних функцій , траєкторії яких визначені на , неперервні справа і мають лівосторонні границі, де --алгебра борелевих підмножин . Для елементів цього простору будемо використовувати норму
Домовимось позначати через простір обмежених -вимірних функцій , траекторії яких визначені на , неперервні справа і мають лівосторонні границі.
Позначимо через простір дійсних матриць з евклідовою нормою, яку позначимо через .
Розглянемо випадковий процес , заданий на як сильний розв'язок , стохастичного диференціально-функціонального рівняння нейтрального типу з пуассоновими збурюваннями (НСДФР)
(2.1)
з початковою умовою
(2.2)
де , і - неперервні за сукупністю змінних і обмежені функції із значеннями з ; - неперервна за сукупністю змінних і обмежена функція із значеннями з ; - неперервна за сукупністю змінних , і обмежена функція із значеннями з ; ,
Будемо досліджувати існування і єдиність розв'язків НСДФР (2.1), (2.2) у просторі .
Під сильним розв'язком задачі (2.1), (2.2) будемо розуміти випадковий процес , узгоджений з мінімальною фільтрацією яка породжена незалежними між собою сукупностями величин , й початковою функцією , що з імовірністю одиниця справедлива інтегральна рівність
(2.3)
де
Теорема 1. Нехай для коефіцієнтів НСДФР (2.1) для існує стала , що виконуються умови:
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
де , - мартингал.
Нехай, крім того,
Тоді для у просторі існує з точністю до стохастичної еквівалентності єдиний сильний розв'язок НСДФР (2.1), (2.2), причому .
Доведення. Існування. Нам необхідно знайти розв'язок інтегрального рівняння (2.3). Будемо будувати розв'язок методом послідовних наближень . Для цього визначимо апроксимуючу послідовність :
(2.8)
(2.9)
Покажемо, що якщо визначене, -вимірне і , то інтеграли в правій частині (2.9) визначені, а також -вимірні. Для цього покажемо, що інтеграл існує з імовірністю 1, а також
, . (2.10)
Справді, оскільки , то на підставі умови (2.5)
тобто (2.10) виконується для .
Отже, оскільки -вимірна для , то інтеграли , і визначені і -вимірні. Існування випливає з обмеженості функції як елемента простору і неперервності за сукупністю аргументів функції та її обмеженості. А це означає визначеність і -вимірність випадкового процесу .
Далі,
(2.11)
Доведемо тепер, що .
Спираючись на формулу (2.4), доходимо висновку, що
Згідно з означенням маємо
Піднесемо до квадрату обидві частини одержаного співвідношення, візьмемо математичне сподівання, застосуємо нерівність Коші - Буняковського, використаємо властивості стохастичних інтегралів , і, застосувавши (2.5), дістаємо:
де .
Покладемо . Легко переконатися, що для
Тоді (2.12)
де
Наведемо допоміжне твердження (, лема 6.2.1 ).
Лема 1. Нехай - невід'ємна на функція, яка задовольняє нерівність
де - невід'ємна неспадна функція, .
Тоді існує стала , що .
Лема 2. Нехай - невід'ємна на функція, яка на обмежена додатною сталою і задовольняє нерівність
(2.13)
де - невід'ємна неспадна функція, .
Тоді існують сталі , , що .
Доведення. Випадок І. Нехай .
Виконаємо наступні перетворення:
де .
Оскільки виконуються всі умови леми 1, то одержимо існування сталої такої, що де . Це доводить лему 1.
Випадок ІІ. Нехай . Перепишемо (2.13) у вигляді
Врахувавши те, що - невід'ємна функція на , а , дістаємо
Тоді, узявши до уваги лему 1, одержимо існування сталої такої, що . Звідси, поклавши , приходимо до твердження леми 2.
Продовжимо доведення теореми 1.
Оскільки , де
, (2.14)
то з леми 2 випливає існування додатних сталих і таких, що
Обчислюючи супремум від обох частин цієї нерівності, виводимо:
Це зумовлює нерівності:
(2.15)
Іншими словами, послідовність рівномірно обмежена на .
Отже, маємо, що , звідки на підставі (2.11) аналогічно, як і для випливає, що для всіх процеси визначені і -вимірні. Це означає, що апроксимуюча послідовність визначена коректно.
Позначимо
Використовуючи (2.6), (2.7) аналогічно (2.12) доходимо висновку, що
де , .
Оскільки при ,
а при ,
то виводимо, що для
Спираючись на лему 1, дістаємо, що існує стала , що
Обчислюючи супремум від обох частин одержаної нерівності, маємо:
(2.16)
Очевидно, що для
де , а стала визначена як (2.14).
Одержане співвідношення з урахуванням (2.16) зумовлює ланцюжок нерівностей:
. (2.17)
Із (2.17) виводимо, що Це означає, що ряд збігається рівномірно у середньому квадратичному до деякого випадкового процесу для , тобто
(2.18)
Як відомо , інтеграл Вінера-Іто та інтеграл за пуассоновою мірою як функції верхньої межі є мартингалами. Оскільки є субмартингалом, то -субмартингал як сума субмартингалів. Звідси випливає, що з імовірністю 1.
За умовою (2.6),
Якщо врахувати (2.18), то маємо, що для
Міркуючи анал