Оцінка параметра постійного сигналу при близьких до гауссівських адитивних завадах

розділ 2.1). У підрозділах 2.2 і 2.4 синтезовані алгоритми знаходження
оцінок параметра для різних степенів полінома при, відповідно, першого і
другого типу асиметричних завадах. У підрозділах 2.3 та 2.5 досліджені
статистичні властивості знайдених оцінок.
2.1. Адаптація методу максимізації полінома для знаходження оцінок параметра
постійного сигналу при близьких до гауссівських адитивних завадах
Для знаходження оцінки параметра постійного сигналу при близьких до
гауссівських адитивних завадах необхідно, перш за все, адаптувати метод
максимізації полінома, розглянутий в попередньому розділі, до поставленого в
роботі завдання. Тобто, необхідно модифікувати метод максимізації полінома для
знаходження оцінок параметра постійного сигналу при адитивному впливі на нього
негауссівських завад різних типів для степенів стохастичного полінома,
починаючи з першого і закінчуючи шостим.
Нехай є вибірка обсягом незалежних однаково розподілених вибіркових значень з
генеральної сукупності значень випадкової величини (1.6), де мають вид (1.5).
У виразі (1.5) в якості корисного сигналу розглядається деяка функція від
параметра , що має постійне значення протягом часу спостереження. У
радіотехніці, гідроакустиці, радіолокації і т.п. це може бути виміряні напруга,
чи струм, наприклад, на виході лінійного детектора, якщо на вхід прийомного
пристрою попадає високочастотне гармонічне коливання.
Негауссівська завада описується послідовністю кумулянтів або кумулянтних
коефіцієнтів. В залежності від кількості та типу кумулянтних коефіцієнтів,
будемо розрізняти тип завади.
Автором пропонується здійснити модифікацію методу максимізації полінома на
прикладі асиметричної завади першого типу, а в подальшому поширимо на інші
класи завад. В даному випадку завада є асиметричною випадковою величиною
першого типу, тобто дисперсія і коефіцієнт асиметрії відмінні від нуля, а інші
з розглянутих кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків дорівнюють нулю.
Відповідно до методу максимізації полінома [95], оцінка інформативного
скалярного параметра при відомих істинних значеннях неінформативних параметрів
і знаходиться з розв’язку стохастичного рівняння максимізації полінома степені
, яке в нашому випадку матиме вигляд:
(2.1)
де – незалежні й однаково розподілені вибіркові значення з розглянутої
випадкової величини , ,
– початкові моменти порядку випадкової величини , вирази для яких записані в
додатку А до дванадцятого порядку включно,
– невідомі коефіцієнти, що знаходяться з розв’язку системи лінійних
алгебраїчних рівнянь:
(2.2)
де – центровані корелянти розміру , вирази для яких наведені в додатку А.
Розв’язок системи рівнянь (2.2) відшукується по методу Крамера
, , (2.3)
де , – об’єм часткового тіла розміром ,
– визначник, отриманий із заміною -го стовпця на стовпець вільних членів
системи рівнянь (2.2).
Об’єми тіл s-го порядку знаходяться як визначники матриць відповідного порядку,
складених із центрованих корелянтів і співпадають з аналогічними об’ємами тіл,
знайденими при дослідженні відповідних типів близьких до гауссівських
випадкових величин [95].
Надалі, для стислості написання, залежність коефіцієнтів , центрованих
корелянтів та початкових моментів від відомих істинних значень будемо опускати,
залишаючи тільки залежність від оцінюваного параметра . Аналогічно зробимо і
при дослідженні впливу на постійний сигнал інших типів близьких до гауссівських
завад.
В виразах 2.1–2.3 і надалі першою цифрою в індексах кумулянтна другого порядку
та кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків позначено порядок кумулянтного
коефіцієнта (кумулянта), а друга означає, що вони апріорно відомі.
Для знаходження асимптотичної дисперсії оцінки параметра , згідно методу
максимізації полінома, необхідно знайти кількість добутої інформації, яка в
загальному випадку, незалежно від типу завади, буде дорівнювати
(2.4)
Тоді дисперсія оцінки параметра постійного сигналу буде асимптотично
дорівнювати
. (2.5)
Надалі, будемо використовувати перший вираз в (2.4), тому що для поставленої в
даному випадку задачі його використання приводить до спрощення обчислень.
На основі рівняння (2.1) можна побудувати узагальнену блок-схему, яка ілюструє
алгоритм знаходження оцінки параметра постійного сигналу при впливі адитивної
негауссівської завади (рис. 2.1). Розв’язок рівняння максимізації полінома, а
також вибір оптимального значення параметра здійснюється за допомогою
розв’язувального пристрою – РП.
Дана блок-схема може застосовуватись для випадку взаємодії на постійний сигнал
будь-якого типу завади при будь-якому степені стохастичного полінома.
Рис.1.7. Блок-схема процедури оцінювання параметра постійного сигналу при
адитивному впливі негауссівських завад
2.2. Поліноміальні оцінки параметра постійного сигналу при адитивній взаємодії
з асиметричною завадою першого типу
Застосовуючи методику, запропоновану в попередньому підрозділі, знайдемо оцінки
параметра постійного сигналу при адитивній взаємодії з асиметричною першого
типу завадою для степенів полінома 1–6.
При степені полінома оцінка параметра знаходиться з рівняння
. (2.6)
Легко показати, що в даному випадку розв’язком рівняння (2.2) буде коефіцієнт
. (2.7)
Підставляючи вираз для оптимального коефіцієнта (2.7) у рівняння максимізації
полінома (2.6) отримаємо вираз, з якого легко знайти оцінку корисного сигналу у
вигляді
. (2.8)
Отримали прогнозований цікавий результат, що з розв’язання рівняння
максимізації полінома можна знайти оцінку не параметра постійного сигналу, а
оцінку самого сигналу. Оцінку параметра можна знайти з розв’язання рівняння
. (2.9