раздел 2.3). Однако многие реальные задачи сводятся к стационарному случаю, когда коэффициенты соответствующего уравнения постоянны. В этой ситуации задача идентификации сводится к их нахождению. В частности, такая постановка широко распространена в теории автоматического управления. Покажем, как она может быть решена компараторным способом.
Пусть динамическая система описывается выражением вида
(3.1)
с нулевыми начальными условиями. Как и прежде, вход системы, выход. Дифференциальное уравнение (3.1) может быть записано в матричной форме
, (3.2)
где
Решение матричного уравнения (3.2) имеет вид [69]
Перепишем последнее равенство в координатной форме:
Последний набор равенств представляет собой эквивалентную запись математической модели системы вида (3. 1).
Задача идентификации состоит в том, что вначале находятся свойства, характеризующие однозначным способом систему, а затем по найденным ядрам восстанавливаются неизвестные коэффициенты .
Используем предыдущую методику и распространим ее на этот случай. Будем считать, что семейство предикатов имеет вид
, (3.3)
где
. (3.4)
В качестве множества входных сигналов будем полагать множество непрерывных на отрезке функций. При этом свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности, аддитивности остаются неизменными, остальные же свойства необходимо видоизменить.
n-мерность. Существует набор линейно независимых функций такой, что для любой найдется единственный набор функционалов при каждом фиксированном , для которого имеет место равенство:
.
Непрерывность. Для любого найдется такое , что если
, то
при любом .
К уже описанной системе свойств необходимо добавить такое свойство, которое учитывало бы разностное представление ядер , назовем его инвариантностью.
Инвариантность. Для любых и произвольной , связанной с соотношением
имеет место следующее: если , то .
Теорема 3.1. Для того, чтобы предикат семейства был представлен в виде (3.3), (3.4), необходимо и достаточно выполнение свойств рефлексивности, симметричности, транзитивности, аддитивности, n-мерности, непрерывности и инвариантности.
Доказательство. Необходимость. Пусть семейство предикатов представимо в виде (3.3), (3.4), тогда покажем справедливость свойства n-мерности. В качестве выберем линейно независимую систему непрерывных функций из линейной оболочки . Для любого и равенство
означает, что
. (3.5)
Поскольку функции линейно независимые, тогда система (3.5) относительно неизвестных имеет единственное решение, представимое в виде:
где определители Крамера, главный определитель системы (3.5).
Докажем свойство инвариантности. Пусть для любых , и произвольных определены, как и прежде, тогда, если , то
. (3.6 )
С другой стороны,
(3.7)
Аналогично получаем
. (3.8)
Учитывая равенства (3.6 - 3.8), выводим:
,
а это, в свою очередь, означает, что
Инвариантность установлена, остальные свойства доказываются несложной проверкой.
Достаточность. Рассуждая таким же образом, как и в теореме 2.5, приходим к следующим результатам. Каждый предикат семейства , удовлетворяющий всем свойствам, перечисленным в теореме, имеет вид
,
где .
Здесь , причем при без ограничения общности могут быть доопределены 0. Следовательно, , причем при каждом фиксированном эта система функций линейно независима, так как иначе нарушалась бы единственность коэффициентов в свойстве n-мерности. Действительно, в противном случае для какого-либо номера выполнялось бы (без ограничения общности можно считать ) равенство:
.
Но тогда, с одной стороны, из рефлексивности для вытекает , т. е.
,
указанное противоречие означает, что функционалы и функционалы образуют линейно независимые системы.
Фактически установлено, что семейство предикатов представимо в виде (3.3), (3.4) с той лишь разницей, что не показано пока, что ядра разностные. Для доказательства этого факта воспользуемся свойством инвариантности.
Выберем произвольную пару , для которых . Тогда верна следующая цепочка равенств:
,
, (3.9)
,
но
(3.10)
Сравнивая соотношения (3.9) и (3.10), выводим, что ядра интегральных операторов совпадают, т. е. функции и пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, в общем случае зависящим от , другими словами:
. (3.11)
Строго говоря, справедливость последнего равенства показана почти для всех , однако, если учесть, что при , то получим, что это равенство выполняется и при . Иначе говоря, равенство (3.10) справедливо для почти всех .
Возьмем теперь произвольные и , для которых . Отсюда на основании равенства (3.10) можно записать .
Это соотношение позволяет утверждать, что
.
Отсюда следует представление
Для любых равенства и
эквивалентны. Следовательно, для любого тогда и только тогда, когда верно последнее равенство, что и означает справедливость теоремы.
Экспериментальная проверка свойств теоремы позволяет осуществить этап структурной идентификации системы. Предположим, что найдены ядра . Тогда можем приступить к нахождению коэффициентов (ранее мы это отметили).
В нашей ситуации будет справедливо следующее тождество:
, (3.12)
здесь
, ,
операция транспонирования, восстановленные ядра оператора . Положим , тогда
а равенство (3.12) преобразуется к виду: