РОЗДІЛ 2
НЕЛІНІЙНІ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ
ТЕОРІЇ ВИПРОМІНЮЮЧИХ ТА ПЕРЕДАЮЧИХ СИСТЕМ
У цьому розділі розглядаються постановки задач оптимізації випромінюючих та передаючих систем. Наведено математичні моделі задач оптимізації лінійних антен і еквідистантих антенних ґраток за заданою амплітудною діаграмою напрямленості та передаючих ліній енергії за заданим амплітудним розподілом поля на приймальній апертурі. Виписано основні рівняння для таких типів задач та наведено, необхідні для подальшого розгляду, відомі теоретичні результати, які стосуються задач синтезу лінійних антен. Зроблено короткий огляд робіт автора по темі дисертації та описано її зміст.
2.1. Математичні моделі задач синтезу. Еквівалентні формулювання
У загальному випадку задача синтезу випромінюючих систем полягає в необхідності за заданими вимогами до характеристики (діаграми) напрямленості антени визначити геометрію випромінюючої системи і розподіл у ній сторонніх джерел збудження електромагнітних (або акустичних) полів.
Абстрагуючись від конкретного типу випромінюючої системи, залежність діаграми напрямленості від розподілу струмів на антені має вигляд
, (2.1)
де - лінійний обмежений оператор, і -комплекснозначні функції. Вигляд та властивості оператора визначаються типом і геометрією випромінюючої системи.
У реальних задачах синтезу діаграму напрямленості часто вигідно задавати лише своїм модулем (амплітудою), а аргумент (фазу) залишати довільним. Задачі такого типу ми називаємо задачами з вільною фазою. Така постановка дає змогу за рахунок вибору фази, розподіл якої, як правило, не відіграє суттєвої ролі для практики, покращити певні фізичні чи конструктивні характеристики антени.
У найпростішому вигляді задачу синтезу антен за заданою амплітудною діаграмою напрямленості можна сформулювати як задачу на знаходження розв'язків нелінійного операторного рівняння
, (2.2)
де - дійсна додатна функція (задана амплітудна діаграма напрямленості). В задачах, що розглядаються в роботі, - фінітна функція.
В силу обмеженості оператора задача (2.2) може не мати жодного розв'язку. Якщо ж розв'язок існує, то він, очевидно, неєдиний (принаймі він залишається розв'язком після домноження на довільну константу , ). Оскільки в реальних задачах, з одного боку, неєдиність розв'язку, як відмічено вище, може бути використана для певних практичних цілей, а з другого боку, замість точного розв'язку рівняння (2.2) достатньо, як правило, знайти таку функцію , щоб якомога краще наближався до , то задача (2.2) переформульовуєься у варіаційній постановці, як задача мінімізації функціонала
, (2.3)
який характеризує величину середньоквадратичного відхилення модулів заданої та синтезованої діаграм напрямленості.
Рівняння Ейлера для функціонала (2.3) є нелінійним і має вигляд ([62], стор. 19)
, (2.4)
де - оператор, спряжений до .
Нехай - ізометричний оператор. Тоді для будь-яких та має місце рівність Парсеваля
, (2.5)
де індекси 1, 2 при знаках норм та скалярних добутків відповідають індексам областей і (надалі, де це не викликає неоднозначності, ці індекси ми будемо опускати). У цьому випадку рівняння Ейлера для функціонала (2.3) має вигляд:
. (2.6)
Якщо оператор - інтегральний, то рівняння (2.6) є нелінійним інтегральним рівнянням типу Гаммерштейна.
Зручнішим як для теоретичних досліджень, так і для числового розв'язування є рівняння
, (2.7)
еквівалентне до (2.6). Воно одержується із рівняння (2.6) дією на його обидві частини оператором . Питання про існування розв'язків таких рівнянь розглядалось в [63].
Рівняння (2.6), як і (2.7), має неєдиний розв'язок. Кількість його розв'язків може змінюватись залежно від фізичних параметрів випромінюючої системи, що значно ускладнює його розв'язування та аналіз результатів.
Слід зауважити, що рівняння (2.6), (2.7) одержані тільки з необхідної умови мінімуму функціонала (2.3), через те вони описують всі його стаціонарні точки, а не лише мінімуми.
Розглянемо постановки задач, які є еквівалентними до задачі мінімізації функціонала (2.3). Перепишемо функціонал (2.3) у вигляді
, (2.8)
де функціонал має вигляд
, (2.9)
а константа дорівнює
. (2.10)
Якщо оператор ізометричний, тобто виконується рівність (2.5), то
, (2.11)
де
. (2.12)
Задача максимізації функціонала (2.11) є еквівалентною до задачі мінімізації функціонала (2.6).
Ще одною еквівалентною постановкою задачі є наступна постановка: задано , необхідно знайти з умови максимума функціонала
, (2.13)
де - деякий ізометричний оператор. Рівняння Ейлера для функціонала (2.13) має вигляд
. (2.14)
З іншого боку, прирівнявши аргументи обох частин рівняння (2.7), отримаємо
. (2.15)
Очевидно, що рівняння (2.15) еквівалентне до (2.14) при введені заміни , , , тобто, задача максимізації функціонала (2.13) є еквівалентною до задачі мінімізації функціонала (2.3).
2.2. Галуження розв'язків
У випадку, коли оператор залежить від певного параметра , розв'язки рівняння Ейлера (2.7) можуть розгалужуватись зі зміною цього параметра. Виведемо основне твердження, що стосується визначення точок галуження.
Твердження 2.1. Якщо - розв'язок рівняння (2.7) при , що не має нулів на , то може бути точкою галуження, якщо рівняння
(2.16)
має ненульовий розв'язок, відмінний від , ; .
Доведення. Запишемо рівняння (2.7) у вигляді
, (2.17)
де . Нехай при рівняння (2.17) має розв'язок . Застосуємо метод збурень. Збурення приводить до збурення оператора і розв'язку , які в першому наближенні мають вигляд ; . Зберігаючи члени першого порядку по , одержимо
(2.18)
Підставляючи вирази для , , і у рівняння (2.17) та