РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕСІВ РОЗВИТКУ РОЗПОДІЛЕНОЇ СИСТЕМИ З УРАХУВАННЯМ
ЕФЕКТІВ ОСВОЄННЯ
Для сучасних розподілених систем суттєвими є ефекти, які можна трактувати як освоєння виробництва або навчання виробничих елементів. Ці ефекти є досить новими і в літературі не знайдено математичних моделей для процесів розвитку з урахуванням ефектів освоєння. Однак бажано мати конкретні методи для розрахунку розподілу узагальнених ресурсів в часі - по крокам процесу, і в просторі - між елементами розподіленої системи. В цьому розділі ставимо дві цілі:
- побудову модульної моделі розвитку розподілених систем, де альтернативні моделі утворюють структурну декомпозицію для повної моделі;
- відпрацювання технологій функціональної, структурної та редукційної декомпозиції повної моделі процесу розвитку.
Процес створення системи моделей розбиваємо в послідовність кроків, кожний з яких піддається верифікації. Згідно методології побудови моделей складних систем [34, 39, 40, 65-67, 76, 105, 107, 109, 126, 97]:
- використовуємо альтернативні моделі для взаємоперевірки і створюємо бібліотеки функціональних субмоделей;
- досліджуємо статику системи, будуємо модель процесу і досліджуємо на ній емпіричні управління і порівнюємо результати з статистичними даними;
- шукаємо точне розв'язання варіаційної задачі розвитку і досліджуємо властивості процесів розвитку та оцінюємо достовірність і точність моделі.
2.1. Визначення понять для моделей розвитку розподілених
технологічних систем
Новизна і комплексний характер задачі моделювання розвитку розподілених технологічних систем обумовлює відсутність стабільної і однозначної термінології. Тому конкретизуємо визначення вживаних термінів стосовно моделі розвитку як усереднення і узагальнення термінології з [32, 56, 63, 72, 73, 88, 89, 92-95, 113, 116].
Узагальнена функція розвитку (ФР) - залежність темпу прирощення виробничих потужностей від темпу витрат ресурсів [79, 80, 109].
Ціни. В розроблюваній моделі "ціни" - це спряжені функції варіаційної задачі Лагранжа. Наприклад, у варіаційній задачі розвитку спряжена функція для змінної "витрати ресурсу для розвитку виробництва" - характеризує величину прирощення інтегрального критерію на одиницю прирощення витрат.
Цінності. Сучасні теорія і практика далеко пішли від класичних визначень типу "ціна = собівартість + прибуток"[51-53, 101, 103]. Сьогодні домінуючим є підхід, що базується на поняттях встановлення "цінності" - корисності певного продукту, а на цій основі "справедливого розподілу цінності" між виробником і користувачем [103]. Такий підхід на верхньому ієрархічному рівні (табл.. 1.1) приводить до задачі оптимального розподілу узагальнених ресурсів в просторі і часі між виробником і користувачами. Тому і для задачі розвитку "ціна продукту" - формальне поняття - змінна управління варіаційної задачі. Для практичного використання математичних моделей розвитку необхідно виконувати процедуру інтерпретації результатів стосовно конкретного виробництва конкретних моделей.
Узагальнена функція "попиту" (ФП) - залежність обсягу потреб або використання певного "продукту" від його "цінності", або "ціни" . ФП залежить від "навчання". Функція попиту в "чистому" виді існує тільки для стабільних безконкурентних продуктів і виробників. Однак, в цілому, ФП - корисна наближена модель відповідної функціональної підсистеми [122]. Слід чітко розділяти використання цього терміна в техніці, зокрема, в моделюванні і обчислювальних методах. Зокрема обчислювальні системи великих підприємств, транспортних літаків будуються на процесах перерозподілу задач між обчислювальними елементами мережі на основі "цін" і "попиту". Ці терміни дуже далекі від термінів економіки - це просто параметри обчислювального алгоритму. Поняття "цін і "попиту" широко використовуються спеціалістами з моделювання технічних систем [50, 51, 52, 64, 74, 76, 80, 97, 100, 104, 140, 141]. Особливо слід виділити роботи В.Опойцева, де саме на базі цих понять і математичного апарату гомотопічної топології будуються моделі колективної поведінки, що мають широке коло практичних застосувань, зокрема моделі розподілу узагальнених ресурсів у виробничих та обчислювальних системах [104]. Найбільш непродуктивним є намагання дати єдине остаточне визначення цього розмитого поняття.
Процес розвитку системи - сукупність скоординованих в просторі і часі дій: по змінах конструкції та технології виробництва певного продукту; по розширенню виробничої системи. Інноваційні проекти - форма планової реалізації процесів розвитку - завжди пов'язані з невизначеністю і певним очікуваним позитивним балансом витрат і випуску продукції на кінець певного планового періоду [103, 119].
Модель однокрокової задачі оптимального управління з адитивним критерієм і обмеженнями. Задано систему з елементів, що використовують деякий ресурс у кількості і виробляють деякі продукти у кількості згідно з ВФ з класу нестрого монотонно зростаючих невід'ємних функцій: , , де - кількість ресурсу, виділеного i-му елементу. Задано: критерій (сумарне виробництво) ; обмеження . Ціль оптимізації: максимізація критерію. Змінні управління: розподіл ресурсу .
Модель багатокрокової задачі оптимального управління. Терміни "однокрокова", "багатокрокова" задача введені Р. Белманом, суть робіт якого можна охарактеризувати як гібрид математичних моделей оптимальних процесів і обчислювальних методів [28-30, 136]. З багатокрокових розглянемо так звану "задачу розподілу" [28]. Задачі такого класу досліджуються в даній роботі. Розглядаємо задачу визначення максимуму функціоналу , де - темп випуску продукту; - темп вкладення ресурсів у розвиток, це змінна управління. Функції зв'язані диференційним рівнянням , - початкове значення випуску. На функцію управління накладено обмеження . Функції та вважаються заданими. В цілому ця задача