Розділ 2 дисертаційної роботи присвячений розробці апроксимаційної моделі дифракційного інтеграла (1), (3), що використовується для вирішення оберненої задачі реконструкції акустичного зображення об'єкта.
Практично всі відомі методи обернення дифракційного інтеграла базуються на використанні моделі параксиального наближення Френеля з обмеженнями типу:
(4)
В даному випадку x1, y1 - розміри об'єктної площини поперечного перетину звукового імпульсу, x0, y0 - розміри апертури вимірювань.
Використання параксиальної моделі Френеля є вкрай проблематичним з наступних причин:
- малі значення апертури відносно z негативно відбиваються на точності оцінювання відтворюваних значень інтенсивності ехосигналів в пікселах зображень внаслідок неортогональності Фур'є-перетворення просторового сигналу на обмеженій апертурі;
- зі збільшенням вимірювальної апертури x0, y0 для обмежених значень z обмеження апроксимацій Френеля на довжину і напрямки розповсюдження звукових хвиль також не можуть бути виконаними.
Розроблена апроксимаційна математична модель звукової голограми враховує фізичні співвідношення між величиною поперечного перетину об'єма звукового імпульсу dзв. імп і значеннями r10 і довжини і напрямків розповсюдження звукових хвиль від звукового імпульсу до приймачів вимірювальної апертури. Це співвідношення типу:
(5)
З урахуванням співвідношень (5) координати x1, y1 можна апроксимувати центром площини S зі сталими значеннями (мал. 1). У цьому випадку величина в знаменнику підінтегрального виразу (1) і є незалежними від координат x1, y1 і можуть бути винесені за знак інтеграла. Враховуючи залежність і винятково від координат x0, y0, апроксимаційний вираз для формули дифракційного інтеграла (1) матиме вигляд:
(6)
де - масштабний коефіцієнт, - функція втрати амплітуди ехосигналів при розповсюдженні від звукового імпульсу до ехоприймачів вимірювальної гратки, що враховує їх просторове положення x0, y0 і відстань z.
Втрати амплітудних компонент голограми при розповсюдженні відновлюються згідно функції підсилення, оберненої до функції втрат амплітуди. Фазова імпульсна передатна функція вільного простору hф з урахуванням (6) запишеться у вигляді:
(7)
При апроксимації в показнику експоненти (7) квадратного кореня лінійними членами степеневого ряду:
(8)
вираз для апроксимованої фазової передатної функції hф.а матиме вигляд:
. (9)
В інтегральному вигляді з урахуванням (9) апроксимаційна модель звукової голограми матиме вигляд:
(10)
Апроксимаційна модель (10) вільна від обмежень (4) параксиальної моделі Френеля на апертуру вимірювань на довжину r10 і напрямок розповсюдження звукових хвиль від точок-неоднорідностей звукового імпульсу до ехоприймачів вимірювальної гратки.
Поставимо завдання оцінити відносну похибку апроксимованих моделлю (9) фазових компонент передатної функції:
(11)
Комп'ютерне моделювання величини проводилось для максимального значення напівапертури x0/2 = 62 мм, x1 = 0, y0 = y1 = 0. Відносна похибка відповідає значенню zпоч.роб.? 50 мм.
Таким чином, використання апроксимаційної моделі передатної функції фазових компонент голограми (9) для максимального значення напівапертури x0/2 = 62 мм допустиме при робочих глибинах зондування мм. Зі збільшенням z похибка апроксимації фазових даних звукової голограми спадає по експоненціальному закону (мал. 2).
Таким чином, вибір певно означеної апертури вимірювань потребує розрахунку відповідної початкової робочої глибини zпоч.роб. з урахуванням гранично допустимої відносної похибки апроксимації фазових компонент передатної функції вільного простору.
Використання лінійної апертури реєстрації фазових компонент звукової голограми одновимірного типу пов'язане з апроксимацією описів трьохвимірного просторового положення точок-неоднорідностей в об'ємі звукового імпульсу x1, y1, z1 їх одномірними аналогами H, x1, де H - відстань від вимірювальної гратки де об'єктної площини S. Таким чином, в одновимірній моделі звукової голограми трьохвимірне просторове положення точок-неоднорідностей апроксимується одновимірною проекцією їх місцеположення на вісь x1 на відстані H від вимірювальної гратки. Вплив одновимірної апроксимації фазових даних на точність відтворення в системі амплітуди (інтенсивності) ехосигналів фокусованих точок дослідим на основі одновимірної дискретної математичної моделі звукової голограми.
Дискретна модель n-точкової звукової голограми j-го точко-подібного джерела хвилі в об'єктній площині відповідає виразу:
(12)
де n - кількість ехоприймачів вимірювальної апертури; i = 1, 2, ..., n; j = 1; - комплексна амплітуда коливання j-го джерела в об'єктній площині.
Відповідно, модель фазової звукової голограми m джерел сферичних хвиль, реєстрованої в n приймачах лінійної апертури, Cnm можна записати у вигляді добутку матриці на вектор комплексних амплітуд m точковоподібних джерел звукових хвиль.
, (13)
де Cnm - вектор виміряних компонент звукової n-точкової голограми для m діючих в об'єктній площині точково-подібних джерел сферичних хвиль.
Значення в показниках експонент матриці означається виразом:
(14)
Як виходить з (14), функція набігання фази при розповсюдженні ехосигналу залежить від трьох просторових координат i-ї точки приймальної апертури і трьох координат місцеположення j-го точкового розсіювача хвилі в звуковому імпульсі.
Позначимо H - відстань від лінійної апертури до лінії x1, колінеарної лінії апертури та розташованої в об'єктній площині звукового імпульсу, - відстань від осі x1 до j-го точкового відбивача хвиль по координатах z і y1, відповідно (рис. 3).
для прийнятих позначень буде мати вигляд:
(15)
Позначимо . Якщо розкласти функцію квадратного кореня в (15) в степеневий ряд і обмежитись лінійними членами, то можна показати, що величина в матриці рівняння (13) має вигляд:
(16)
де - стала величина
- Київ+380960830922