Чисельне моделювання і оптимізація динамічних і релаксаційних процесів.

РОЗДІЛ 2. ОПТИМІЗАЦІЯ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ З УЗАГАЛЬНЕНИМ ВПЛИВОМ
Велика кількість задач прикладної математики приводить до не­обхід­ності
розглядати рівняння, які містять у правих частинах рівнянь стану узагальнені
функції скінченного порядку, в тому числі і за часо­вою змін­ною (імпульсне,
точкове керування) [16,18,241–245]. Із роз­в’язу­ван­­ням за­дач сингулярного
оптимального керування пов’язано низ­ку іс­тот­них про­блем, деякі з них
виникають в задачах, приведених у на­ступ­них роз­ді­лах. Окремі результати у
напрямку їх подолання одержа­но як у нашій країні, так і за її межами, та все ж
єдиної теорії поки що не існує.
Для систем із зосередженими параметрами задачу оптимального ім­пульс­ного
керування розв’язано у [8] за допомогою інтеграла Стіл­т’єса і використання
методів L – проблеми моментів. У ігровій поста­новці ця за­дача досліджувалася
в [246]. Побудові необхідних умов оптимальності у формі принципу максимуму
Понтрягіна присвячені роботи [247,248]. У ро­ботах [10,12] задачу синтезу
оптимального керування зведено до розв’язу­вання відповідної квазіваріаційної
нерівності. У роботі [9] задача імпульс­ної опти­мізації розв’язувалася за
допомогою роз­­ши­рення варіаційної за­дачі з її наступним аналізом у класі
узагаль­нених функцій. У [24] імпульсне пози­цій­не керування одержано для
рівняння теплопровідності як результат роз­в’язування деяких лінійних задач. У
роботах [10,12] задача оптималь­ного імпульсного керування вивчалася у
стохастичній постановці. Необ-хідно відмітити, що уведен­ня збурень в
досліджувані рівняння рівносильне регу­ляризації, що спрощує до­слідження
питань існування оптимальних керу­вань. Що сто­сується зна­ходження необхідних
умов оптимальності, то ситу­а­ція зво­ротна. Вве­дення збурень робить
формулювання стохастичного прин­­ципу максимуму не однозначним і надзвичайно
складним.
При вивченні керованих систем одним із найважливіших питань є пи­тан­ня їх
керованості. Для лінійних зосереджених систем, у яких до­зволено узагальнений
вплив, проблему керованості було вивчено у [8]. Показано, що введення такого
впливу не розширює умов повної керо­ваності. У ви­падку розподілених систем
справа значно складніша. У роботі [16] пока­зано, що керованість таких систем
із точковим впли­вом може істотно зале­жати від теоретико–числової природи
точки при­кладання керуючих впли­вів. Деякі критерії керованості у задачах
імпульсної оптимізації одержано в [26,28].
Незважаючи на велику кількість робіт в описаному напрямку, ба­га­то задач
узагальненого керування залишаються відкритими або дослід­жени­ми не повністю.
У даному розділі з єдиних позицій, що базуються на використанні апріорних
нерівностей із негативними нормами [5,20,203–206], будується тео­рія
оптимізації лінійних систем із впливом з класів узагальнених функцій
скінченного порядку [5,206,207].
2.1. Вивчення математичної моделі задачі оптимізації лінійних систем з
узагальненим впливом
Нехай функціонування системи описується за допомогою деякого лінійного
диференціального рівняння
, (2.1)
де оператор діє з в підмножину уза­гальнених функцій деякого скінченного
порядку l, де – простір ви­мір­них та підсумовних із квадратом у заданій
області функцій, циліндрична область, в якій досліджу­ється задача (2.1), _
область зміни просторових змінних із достатньо гладкою границею . Керування
системою (2.1) реа­лізується за рахунок керуючих впливів , визначених на
множині допустимих керувань із рефлексивного банахового простору керувань . У
рівнянні (2.1) _ оператор, можливо нелінійний, внаслідок чого при дослідженні
задачі оптимізації виникають ускладнення, пов’язані з цим фактом, наприклад
відсутність єдиності розв’язку. Оператор діє з у негативний простір . На
розв’язках рівняння (2.1) задано слабко напівне­пе­рер­вний знизу функціонал ,
який потрібно мінімізувати на мно­жині . Для розв’язування цієї задачі дуже
продуктивним виявився під­хід, що базується на використанні апріорних оцінок у
негативних нормах.
Апріорні оцінки для вивчення диференціальних рівнянь уперше засто­су­вав К.О.
Фрідріхс в 1953 р. В задачах оптимального керування їх з успіхом застосував Ж.
– Л. Ліонс. Це були оцінки у позитивних нормах. Із них ви­пливає існування
слабких розв’язків диференці­альних рівнянь, які нале­жать . Із оцінок у
негативних нормах одразу випливає існування достатньо гладкого розв’язку
спряженої задачі. Ці оцінки є не тільки до­статніми, але й необхідними умовами
існування такого розв’язку і дозволя­ють зробити висновок про його єдиність.
Крім того, з них випливають оцін­ки у позитивних нормах, але не навпаки.
Проблема побудови таких нерівностей була поставлена А. В. Бі­цадзе на початку
60-х років для рівнянь другого порядку. Незважаючи на великі зусилля в цьому
напрямку, такі оцінки з’явились вперше лише через 10 років у роботах В.П.
Діденка [20].
Введемо відносно ланцюжки банахових просторів [208]:
,
,
де , є поповнення множини гладких в функцій, які задо­вольняють деяким
граничним умовам за відповідними пози­тивними нормами, – поповнення гладких у
функ­цій, які задо­воль­няють спряжені умови [207], , _ відповідні негативні
простори. У наведених просторах вкладення усю­ди щільні, а оператори вкладення
цілком неперервні.
Під керованістю системи (2.1) будемо розуміти можливість дося­гати довільного
стану за рахунок допустимих впливів . Для дослідження керованості системи
необхідно вивчити властивості опе­ратора . Ця задача розв’язується за допомогою
апа­рату оснащених гільбертових про­сторів і нерівностей із негативними нормами
[203], а також нерівностей із позитивними нормами [207].
Систему