РАЗДЕЛ 2
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМИ ИСХОДНЫМИ ДАННЫМИ
2.1. Источники задач с приближенными исходными данными
При решении прикладных задач математические модели физических процессов, которые описываются дифференциальными и интегральными уравнениями, вариационными задачами, могут иметь приближенные исходные данные в результате измерений, наблюдений, предположений, гипотез и т.п. В дальнейшем при дискретизации математической модели эти погрешности трансформируются в погрешности коэффициентов разрешающих систем уравнений.
Исходные данные систем линейных алгебраических уравнений и алгебраической проблемы собственных значений могут определяться прямо из физических наблюдений, и поэтому они могут иметь ошибки, свойственные всем измерениям. В этом случае исходные данные, которые мы имеем, являются приближением некоторых точных данных.
И, наконец, исходные данные математических моделей, сформулированных непосредственно в виде задач линейной алгебры, могут быть заданы точно в числовом виде или представлены математическими формулами. Но реализация формул на компьютере или ввод чисел в компьютер (перевод из десятичной системы счисления в двоичную), в общем случае, приводит к машинным моделям с приближенно заданными исходными данными.
И еще один тип задач можно условно с теоретической точки зрения трактовать как решение задач с приближенными исходными данными. Наиболее часто решение задач линейной алгебры сводится к последовательности эквивалентных (для систем линейных алгебраических уравнений) или подобных (для проблемы собственных значений) элементарных преобразований и ошибки округления вносятся при проведении каждого из них. С практической точки зрения ошибки, возникающие в этих преобразованиях, имеют другую природу, чем ошибки, которые мы рассматривали ранее. Однако, как показано в [173], эти преобразования являются точными для некоторых возмущенных задач, которые можно рассматривать как задачи с приближенными исходными данными. Такая трактовка погрешности машинных алгоритмов может быть полезна при теоретическом исследовании факторов, влияющих на погрешность машинной реализации.
2.2. Математические модели с приближенно заданными исходными данными
2.2.1. Н е к о т о р ы е м а т е м а т и ч е с к и е м о д е л и т е о р и и
у п р у г о с т и. На классическом примере математической модели первой основной задачи теории упругости проиллюстрируем проблемы постановки и исследования задач теории упругости с приближенно заданными исходными данными.
Краевые задачи с единственным решением на подпространстве, к которым относится первая основная задача теории упругости, имеют свои характерные особенности, которые рассмотрим на примере задачи определения напряженно-деформированного состояния тела с заданными на поверхности напряжениями.
В конечной области с достаточно гладкой границей рассмотрим уравнения теории упругости в перемещениях
(2.1)
при заданных на границе области напряжениях
(2.2)
где вектор упругих перемещений, вектор объемных сил, вектор напряжений, заданных на ; орт оси , n внутренняя нормаль к ,
составляющие тензора напряжений,
составляющие тензора деформаций.
Задача (2.1), (2.2) не всегда имеет решение. Необходимые условия ее разрешимости состоят в том, что совокупность сил, приложенных к упругому телу, должна быть статически эквивалентна нулю, т.е.
(2.3)
где радиус-вектор точки области , а косой крестик означает векторное умножение векторов.
Если решение задачи (2.1), (2.2) существует, то оно не будет единственным. Единственное решение этой задачи можно зафиксировать, подчинив его условиям
, (2.4)
первое из которых исключает произвольный поступательный перенос, а второе произвольный жесткий поворот.
Также существует единственное решение задачи (2.1) - (2.4) в слабой постановке, т.е. существует единственная вектор-функция u, для которой выполняется интегральное тождество
, . (2.5)
Определим билинейную форму и линейную форму где - евклидово скалярное произведение трехмерных векторов и , а также линейное множество вектор-функций
(2.6)
Если в прикладной задаче определения напряженно-деформированного состояния тела исходные данные заданы точно, то условия существования (2.1), (2.2) выполняются. Тем не менее, при дискретизации такой задачи методом конечных элементов (МКЭ) или методом конечных разностей (МКР) стандартным подходом без учета условий (2.4) получим систему линейных алгебраических уравнений с вырожденной матрицей, правые части которой могут удовлетворять или не удовлетворять условиям разрешимости. Поэтому необходимо ответить на вопрос, какое отношение имеет одно из решений (псевдорешений) дискретной задачи к решению дифференциальной.
В практических задачах исходные данные, как правило, заданы приближенно.
Наряду с задачей (2.1) - (2.4) рассмотрим задачу с возмущенными коэффициентами
(2.7)
(2.8)
где .
В этом случае условия (2.3) могут не выполняться. Тогда решение возмущенной задачи не существует. Последнее обстоятельство является существенным отличием краевых задач с единственным решением на подпространстве от задач с единственным решением на всем пространстве, в которых существует единственное решение при любых правых частях уравнений и краевых условий.
Таким образом при рассмотреннии математических моделей теории упругости необходимо исследовать корректность постановки задачи: установить существование классического или обобщенного решения математической задачи, возможность выделения единственного решения, а также исcледовать его устойчивость по исходным данным.
При дискретизации такой задачи, например, одним из вариантов метода конечных элементов получим в общем случае несовместную