Математичне моделювання періодичних процесів електротехнічних пристроїв.

РОЗДІЛ 2
ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ
Складність математичного моделювання електромеханічних пристроїв обу­мовлена
тісним взаємозв’язком їх структурних і функціональних влас­ти­вос­тей, тобто
для аналізу режимів роботи таких пристроїв необхідні моделі з ві­доб­раженням
особливостей як структури об’єкту, так і характеру фізичних про­це­сів, які в
них відбуваються.
Структурні властивості цих пристроїв описуються електромагнітними ко­ла­ми, в
яких здійснюється перетворення електромагнітної енергії у механічну або
навпаки. Ці кола поєднують у собі електричні і магнітні кола, які вва­жа­ють­ся
його субколами. Шуканими змінними електричного кола є інтегральні ве­личини
електричного поля – струми і електричні напруги, а магнітного – ін­тег­ральні
величини магнітного поля, тобто магнітні потоки і напруги.
Органічне поєднання структурних і функціональних властивостей
елек­тро­механічних пристроїв зумовлене взаємодією електромагнітних і
механічних про­цесів. Тому успішний аналіз електромеханічних процесів може
проводитись ті­льки на основі сумісного інтегрування рівнянь електромагнітного
та ме­ха­ніч­но­го станів.
Отже, в процесі математичного моделювання електромеханічних прис­т­ро­їв
першочерговим завданням є формування рівнянь електромагнітного кола. Ме­тодика
формування рівнянь електромагнітного кола в сучасній реалізації впер­ше була
запропонована професором Чабаном В.Й. в роботі [180].
2.1. Рівняння електромагнітних кіл
Розглянемо принципи формування рівнянь стану електромагнітних кіл. У
бі­льшості електромеханічних пристроїв структура електричного субкола дуже
прос­­та. Воно складається з електрично не зв’язаних між собою котушок, які
під­’єднані до джерел електричної напруги. На рис. 2.1 наведена конструктивна
(а) і розрахункова (б) схеми котушки. Диференціальні рівняння електричного
суб­кола отримаємо на основі другого закону Кірхгофа
, (2.1)
де – повний магнітний потік, електрична напруга, струм обмотки;
– її число витків і опір. Індекси вказують на причетність до і-го еле­мен­ту
k-ї магнітної вітки.
Згідно першого закону Кірхгофа для магнітних потоків (рис. 2.1 а) маємо
спів­відношення
, (2.2)
де – основний магнітний потік, – магнітний потік розсіяння.
За визначенням залежність між потокозчепленням і потоками має вигляд
Рис. 2.1. Конструктивна а) і розрахункова б) схеми котушки
; , (2.3)
де – відповідно повне потокозчеплення і потокозчеплення розсіяння.
Помножимо (2.2) на і врахуємо (2.3). Отримаємо
. (2.4)
Вираз (2.4) підтверджує прийняті допущення про умовне розділення поля
елек­тротехнічного пристрою на дві складові – основне або робоче і поле
роз­сі­ян­ня. Оскільки магнітні силові лінії потоків розсіяння частково або
повністю про­тікають через повітря, то з достатньою точністю можна вважати
залежність між потокозчепленнями розсіяння і струмами лінійною, тобто
, (2.5)
де – обернена індуктивність розсіяння.
Підставляємо (2.5) у (2.4) і розв’яжемо відносно струму. Отримаємо
. (2.6)
Отже, у відповідності з (2.6) струми електротехнічного пристрою можна знай­ти
через потоки або потокозчеплення. Невідомі магнітні потоки знайдемо з рів­нянь
магнітного субкола, яке має дещо складнішу структуру у порівнянні із структурою
електричного субкола. Ця обставина зумовлює специфіку фор­му­ван­ня рівнянь
магнітного кола, для якого за першим (для головних перетинів) і другим (для
головних контурів) законами Кірхгофа складемо рівняння
; (2.7) , (2.8)
де – магнітна напруга k-ї вітки.
Для магнітної вітки, що містить дві обмотки намагнічування з прик­ла­де­ни­ми
до них джерелами електричної напруги, дві однорідні магнітні ділянки і один
немагнітний проміжок (рис. 2.2) рівняння рівноваги магнітних напруг має вигляд
, (2.9)
де – магнітна напруга і-ї однорідної магнітної ділянки;
– магніторушійна сила (м.р.с.) -ї обмотки;
– магнітний опір немагнітного проміжку.
Рис. 2.2. Конструктивна а) і розрахункова б) схеми магнітної вітки
У загальному випадку рівняння магнітної напруги (2.9), яке відображає
фун­кціональну залежність між магнітною напругою і магнітним потоком прий­має
вигляд
, (2.10)
де – магнітна напруга і-ї дільниці k-ї магнітної вітки;
– м.р.с. ik-ї обмотки;
– кількість м.р.с. k-ї вітки;
– кількість магнітних дільниць k-ї вітки.
У рівнянні (2.10) за додатний напрямок магнітної напруги і м.р.с. прий­нято
такий, що збігається з додатним напрямком магнітного потоку.
Виразимо магнітну напругу дільниці магнітопроводу через потік вітки
, (2.11)
де – статичний магнітний опір, що визначається за кривою намагнічування
магнітопровідника
. (2.12)
Криву намагнічування (2.12) отримаємо шляхом перерахунку масштабу кри­вої
намагнічування матеріалу магнітопроводу. Для цього використаємо за­кон повного
струму і зв’язок магнітної індукції з потоком. В результаті от­ри­ма­є­мо
, , (2.13)
де – довжина і площа поперечного перерізу ik-ї дільниці маг­ні­то­п­ро­во­ду. З
врахуванням (2.13) статичний магнітний опір (2.12) набуде вигляду
. (2.14)
Завершимо перетворення магнітної напруги (2.10). Для цього у правій час­тині
м.р.с. замінимо струмом (2.6), домноженим на , а значення нап­ру­ги дільниці
магнітопро