Дискретно-континуальні моделі задач ідентифікації включень з використанням потенціального поля

Розділ 2
Континуальні моделІ Прямих задач
ідентифікації включень
У даному розділі показано побудову континуальних моделей задач ідентифікації
включень у твердих тілах з використанням методу фіктивних джерел, сформульовано
прямі й обернені задачі ідентифікації та описано математичні моделі задач
ідентифікації одного включення для двовимірного випадку при різних способах
зондування.
2.1. Побудова континуальної моделі з використанням методу фіктивних джерел
В просторі , де , – декартові координати, розглянемо ізотропне
кусково-однорідне тіло, що перебуває під дією потенціального поля –
температурного, електричного, магнітного, фільтра­ційного тощо. Тіло займає
область з границею , а включення у тілі, відповідно, області , . Область тіла
без включень позначимо (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Геометрія задачі ідентифікації у тілі з системою включень.
Питомі провідності областей – , , (коефіцієнти теплопровідності,
електропровідності, магнітної проникливості) – різні.
Потенціальне поле у тілі може бути зумовлене дією внутрішніх джерел густини ,
що знаходяться в області , або дією зовнішніх джерел, розподілених поза межами
області досліджень. Останні джерела у математичній моделі ми будемо
враховувати, задаючи на частині границі тіла значення потенціалу або значення
потоку на іншій частині , . Тоді у області скалярна функція потенціалу
(температура, електричний, магнітний потенціал тощо) задовольняє рівняння
Пуасона
(2.1)
граничним умовам першого
, , (2.2)
та другого роду
, . (2.3)
Вважаємо, що на границях включень виконуються умови ідеального контакту
, , , . (2.4)
Тут
, , , (2.5)
– оператор Лапласа,
– зовнішня нормаль до ,
, – деякі відомі функції.
Зазначимо, що поверхні тіла є поверхнями Ляпунова, а функції, задані на
границі, задовільняють умову Гельдера.
Розв’язок задачі будемо шукати у класі функцій, що є неперервні разом з другими
похідними
Для розв’язування задачі (2.1)–(2.4) використаємо метод фіктивних джерел [65,
80].
Спочатку розглянемо випадок, коли включення знаходяться на такій відстані одне
від одного, що збурення потенціального поля, які вони створюють, не
перекриваються, тобто їх взаємовпливом можна знехтувати.
Нехай у тілі міститься тільки одне включення (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Геометрія задачі ідентифікації у тілі з одним включенням
Тоді функція потенціалу в області опишеться рівнянням Пуасона
(2.6)
граничними умовами (2.2), (2.3) та умовами ідеального контакту
, , . (2.7)
Розв’язком задачі (2.6), (2.2), (2.3), (2.7) буде функція
(2.8)
Для знаходження та розглянемо дві допоміжні крайові задачі для однорідних
просторів з питомими провідностями та , що відповідають середовищу і включенню.
Перша допоміжна задача – задача для середовища – це задача для однорідного
простору з питомою провідністю , у двозв’язній області якого введемо невідомі
фіктивні джерела (рис. 2.3, а), такі, що
,
Ця задача опишеться рівнянням
(2.9)
граничними умовами (2.2), (2.3) та умовою
, , , (2.10)
де – деякі функції.
Друга допоміжна задача – задача для включення – це задача для однорідного
простору з провідністю у однозв’язній області якого задано розподіл джерел
(рис. 2.3, б). Ця задача формулюється так:
, , (2.11)
, , . (2.12)
а) б)
Рис. 2.3. Геометрія допоміжних задач ідентифікації для тіла з одним вклю­ченням
(а – задача для середовища, б – задача для включення).
Невідомі фіктивні джерела та виберемо таким чином, щоб задовольнити умови
ідеального контакту (2.7).
Згідно з [16, 20], інтегральне зображення розв’язку задачі для середовища
(2.9), (2.10), (2.2), (2.3) запишеться у такому вигляді
, , (2.13)
а інтегральне зображення розв’язку задачі для включення – (2.11), (2.12) – у
такому
, . (2.14)
Тут – фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа,
, ,
, , (2.15)
, ;
– система координат, що співпадає з декартовою і використовується для
позначення координат розташування джерел;
– константа, що використовується для покращення обчислювального процесу;
при , – невідомі константи, що виникають унаслідок особли­вості (2.15) на
нескінченності, при ,, .
Для визначення густини потоку маємо такі вирази [16, 20]
, , (2.16)
. . (2.17)
Тут вираз означає скалярний добуток векторів і ,
, ,
, , , .
, . (2.18)
Для знаходження невідомих джерел та інтегральні рівняння (2.13), (2.14),
(2.16), (2.17) підставляємо у граничні умови (2.2), (2.3) та умови ідеального
контакту (2.7) і задовольняємо їх у точках, що знаходяться на границі. Тоді
отримаємо таку систему інтегральних рівнянь для знаходження невідомих функцій ,
та констант , :
, ,
, ,
, .
Якщо розв’язується двовимірна задача (), то систему рівнянь (2.19) необхідно
доповнити умовами
, , (2.20)
які означають рівність нулю сумарної потужності усіх джерел у нескінченно
віддаленій точці і забезпечують єдиність розв’язку.
Розв’язавши систему (2.19), (2.20) можемо знайти значення функцій потенціалу
(2.8) за (2.13), (2.14) та густини потоку за (2.16), (2.17) як у будь-якій
внутрішній точці області, так і у точках на її границі.
Тепер наведемо розв’язок задачі (2.1)–(2.4) для випадку, коли тіло містить
систему включень, які спотворюють картину потенціального поля один одного. Для
цього використаємо допоміжну задачу. Тут задача для середовища без включень –
це задача для однорідного простору провідністю , у багатозв’язній області якого
, введені невідомі фіктивні джерела ( рис. 2.4, а) такі, що
Ця задача описується рівнянням
(2.21)
граничними умовами (2.2), (2.3) та умовою
, , , , (2.22)
де ,, – деякі функції.
Допоміжні задачі для включень – це задачі для однорідних прост