Розділ 2
Математичне моделювання впливу початково-крайових умов на функцію стану
лінійної СИСТЕМИ зі сталими коефіцієнтами
В розділі розглядаються питання побудови середньоквадратичних наближень до
розв’язків (якщо вони існують) або псевдорозв’язків задач, заданих звичайним
диференціальним рівнянням або рівнянням в частинних похідних та початковими,
крайовими або початково-крайовими умовами, кількості яких недостатньо для
однозначного визначення розв’язку задачі.
Дослідження проводяться на основі методики середньоквадратичного обернення
систем функціональних та інтегральних співвідношень, описаної в першому розділі
даної дисертаційної роботи.
2.1. Неповна початково-крайова задача для систем з розподіленими параметрами
Розглянемо деяку систему, яка функціонує в обмеженій просторово-часовій області
скінченої міри з границею ( – границя просторової області ) і описується
рівнянням
, (2.1)
з початковими
(2.2)
та крайовими
(2.3)
умовами, де – лінійний диференціальний оператор зі сталими коефіцієнтами, , –
лінійні диференціальні оператори, кількість яких визначається характером
фізичного процесу та узгоджується з порядком диференціального оператора , –
функція стану системи, – функція зовнішньо-динамічних впливів на систему, а , –
функції початкових та крайових станів.
Означення 2.1. Некоректно поставлену задачу [112, 13] побудови функції стану
системи з розподіленими параметрами (2.1)-(2.3) назвемо неповною
початково-крайовою задачею (а систему (2.1)-(2.3) – неповною системою), якщо
кількість відомих початково-крайових умов менша кількості початково-крайових
умов відповідної коректно поставленої початково-крайової задачі.
Далі будемо досліджувати саме неповні початково-крайові задачі.
Розглянемо задачу побудови деякого середньоквадратичного наближення до
розв’язку неповної початково-крайової задачі (2.1)-(2.3). Оскільки точний
розв’язок нами не будується, позначимо це наближення символом і будемо називати
середньоквадратичним станом системи (2.1)-(2.3) або її середньоквадратичним
розв’язком. Таким чином стан системи будемо моделювати такою функцією , яка
задовольнятиме рівняння (2.1) і для якої матиме місце критерій
, (2.4)
згідно якого функція задовольняє відомим початково-крайовим умовам (2.2)-(2.3)
в середньоквадратичному розумінні.
Залишаючись в рамках методики, викладеної в [111], функцію , моделюючу стан
системи (2.1)-(2.3), подамо у вигляді суми
, (2.5)
де – розв’язок рівняння (2.1) в просторово-часовій області (без врахування
початково-крайових умов), а – складова, яка забезпечує виконання
початково-крайових умов (2.2)-(2.3). Знаючи фундаментальний розв’язок
диференціального оператора , побудований в нескінченній просторово-часовій
області та вважаючи, що збурення , функцію подамо у вигляді [111, 118, 13]:
. (2.6)
Доданок суми (2.5) будемо шукати за формулою, аналогічною (2.6), а саме
(2.7)
При цьому будемо вважати, що початково-крайовий стан системи визначається і
підтримується невідомим, діючими за межами просторово-часової області фіктивним
зовнішньо-динамічним впливом , де
, , (2.8)
, , . (2.9)
Тут – фіктивний проміжок часу, протягом якого збурення виводить систему в стан,
заданий початковими умовами (2.2), а – обмежена область скінченої міри з
простору , в якій згадане фіктивне збурення підтримує заданий умовами (2.3)
крайовий стан. Зауважимо, що цей вплив можна вважати визначеним в нескінченній
просторово-часовій області , але за умови, що за межами області , .
Для визначення функції суму (2.5) підставимо у відомі початково-крайові умови
(2.2), (2.3). З врахуванням (2.6), (2.7) отримаємо наступну систему
інтегро-диференціальних співвідношень:
(2.10)
Розв’язувати систему (2.10) будемо з використанням методики обернення
інтегральних або функціональних співвідношень типу (1.5), (1.13) та враховуючи
критерій (2.4). У разі зведення системи до обернення інтегральних співвідношень
її права частина повинна бути вектором, тобто функції початково-крайових станів
, потрібно дискретизувати. В цьому випадку функцію фіктивного збурення
отримаємо [50] в явному вигляді. У разі зведення системи до обернення
функціональних співвідношень її права частина залишається у вигляді
вектор-функції, а невідоме фіктивне зовнішньо-динамічне збурення , знайдемо
[50] у вигляді вектора його значень в деяких наперед заданих точках. Функцію
при цьому побудуємо за формулою (2.7), замінивши інтеграли відповідними сумами
Дарбу.
Нижче більш детально розглянемо кожен з описаних випадків, вважаючи, що точки
дискретизації областей та , а також значення початково-крайових умов в цих
точках відомі.
2.2. Неповна початково-крайова задача для систем з дискретизованими функціями
початково-крайових станів
Будемо вважати, що області допустимих значень функцій початково-крайових станів
розглядуваної системи (2.1)-(2.3) дискретизовані значеннями
, (2.11)
в точках
, . (2.12)
Тоді початково-крайові умови (2.2), (2.3) набудуть наступного вигляду
, (2.13)
. (2.14)
В цьому випадку критерій (2.4) знаходження функції стану системи, набуде
наступного вигляду:
. (2.15)
Для розв’язання поставленої задачі розглянемо простори , , дійсних функцій,
інтегровних за Лебегом в квадраті. Будемо вважати, що . Тоді функція,
середньоквадратично моделююча стан динамічної системи, заданої неповною
початково-крайовою задачею (2.1), (2.13)-(2.14), (2.15), визначається наступною
теоремою.
Теорема 2.1. Якщо фундаментальний розв’язок лінійного диференціального
оператора зі сталими коефіцієнтами належить простору , існують , і для нього
виконуються умови теореми про диференціювання під знаком
- Київ+380960830922