РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА РІВНОЛАНКОВОЇ ЛАМАНОЇ ЗА КЕРУЮЧИМИ ЧИННИКАМИ ПАРАМЕТРІВ НАТУРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В РАМКАХ МЕТОДІВ ДИСКРЕТНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
При постановці задачі у підрозділі 1.3, перш за все, означена необхідність окреслення кола різноманітних умов, які повинні виконуватися у процесі моделювання дискретної рівноланкової кривої та необхідність розв'язання параметричної можливості виконання цих умов.
Саме ці питання вирішуються у підрозділі 2.1, як незалежно від способу розв'язання поставленої задачі, так і з орієнтацією на статико-геометричний метод. За цим методом задача побудови дискретної рівноланкової кривої розв'язувалась у роботах [62, 65], але у контексті з додатковими умовами. У даному разі, доцільно сформувати її як окрему, самостійно параметрично визначену задачу, що зроблено у підрозділі 2.1.
Основним принципом статико-геометричного методу [83] є можливість управління формою нерозтяжної нитки при зміні графіка навантаження. Таким чином, цей метод дозволяє управляти формою дискретної рівноланкової кривої за допомогою зміни графіку розподілу навантаження між вузлами.
Ці задачі розв'язуються у підрозділах 2.2, 2.3, де закон розподілу навантаження інтерпретується як дискретний аналог закону зміни кривини і розглядається, як керуючий чинник при побудові дискретної рівноланкової кривої за заданими умовами. Задача моделювання кривої за заданим законом зміни кривини була сформульована раніше у підрозділі 1.3, і має на увазі, що довжина ланок ламаної залишається однаковою.
Крім того, у підрозділі 2.3 розглядаються варіанти побудови першого наближення та виконана формалізація створення рівнянь для розв'язання поставленої задачі.
У підрозділі 2.4 наведені різноманітні приклади моделювання дискретної рівноланкової кривої за статико-геометричним методом.
2.1. Загальний параметричний аналіз задачі побудови дискретної рівноланкової кривої та його втілення при статико-геометричному методі
Конструювання кривих ліній, як і будь-яких геометричних фігур, базується на відомому факті рівності кількості геометричних параметрів і умов, які вони можуть задовольняти.
Класичні схеми побудови кривих спираються на параметри, які є постійною частиною рівнянь шуканих кривих, заданих у явному, неявному або параметричному вигляді. Це стосується як монокривих, так і різноманітних складених кривих.
У цьому випадку керуючими чинниками при конструюванні є параметри кривої. В останні роки в геометричному моделюванні, зокрема в комп'ютерних системах, поширене використання керуючого чинника у вигляді деякої кривої, що не належить вихідній кривій, яка будується. Її керуючі чинники здебільшого є вершинами ламаної, що в явному вигляді зв'язані з параметрами кривої. Управління вершинами таких ламаних дозволяє користувачеві отримувати моно- та складені криві за будь-яким порядком гладкості (здебільшого використовується другий порядок гладкості) у місцях стику кривих, а крім того задавати відповідні крайові умови.
В роботі поставлене завдання використовувати в якості такої управляючої кривої - криву, яка задає натуральне рівняння шуканої лінії так, що керуючими чинниками при конструюванні будуть параметри натурального рівняння кривої.
Розроблені на сьогодні дискретні методи такого моделювання дають можливість розв'язувати задачі лише з початковими умовами, тобто задачі Коши.
Нижче пропонується постановка задачі конструювання кривої з крайовими умовами за керуючими чинниками параметрів їх натуральних рівнянь. Нехай натуральні рівняння мають вигляд
, де = 1,..., N1, , де = 1,..., N2.
де - їх невизначені параметри, що використовуються як керуючі чинники, - довжина кривої. Дискретна рівноланкова крива відшукується як множина точок, що повинна представити криву, яка б задовольняла рівняння (2.1) та крайові умови.
Умова , де k , {1, 2, 3, 4,5}, (індекс k визначає умову у початковій і кінцевій точках, а індекс відповідає номеру умови) складається з умов:
: та ? задані початкова та кінцева точки транспортної направляючої кривої, що відповідають першій та останній точкам ДРК;
: та ? задані стичні площини, відповідно в початковій та кінцевій точках ДРК:
: та - прямі, що задають дотичні в початковій Р1 та кінцевій Р2 точках ДРК;
: та - кривини в точках P1 та P2 відповідно;
: та - скрут в точках P1 та PN відповідно.
Для плоскої ДРК задоволення умови вимагає чотири (4) параметри, по два (2) на початкову та кінцеву точки кривої. Для просторової кривої ця умова вимагає шести (6) параметрів, по три (3) на кожну точку.
Умова при побудові плоскої кривої взагалі не існує. У варіанті побудови просторової кривої її завдання в кожній заданій кінцевій точці вимагає два (2) параметри, для визначення стичних площин, в яких будуть лежати дотичні.
Умова в обох варіантах (у варіантах побудови плоскої і просторової
кривих) вимагає два (2) параметри, відповідно по одному (1) на кожну дотичну. Йдеться про побудову прямої, яка належить заданій площині: у плоскому варіанті - це є площина кривої, а в просторовому варіанті - стична площина. Дотична проходить через задану точку, тому на її задачу необхідно один (1) параметр.
Умови та в сукупності становлять чотири (4) параметри - числові значення кривини ? та скруту в початковій та кінцевій точках. У випадку плоскої ДРК залишається тільки значення кривини ? , тобто тільки два (2) параметри.
Таким чином, у просторовому випадку для задоволення крайових умов необхідно розробити апарат з шістнадцятьма (16) вільними параметрами. Кількість таких параметрів для двовимірного випадку дорівнює восьми (8).
Далі процес параметризації повинен окремо розглядатися для статико-геометричного та конструктивно-пошукового методів, бо: по-перше, за різними схемами виконується задоволення вихідних умов; по-друге, неоднакова структура управляючих кривих та геометрична інтерпретація керуючих чинників. Застосування статико-геометричного методу у роботі обмежено двовимірним випадком (побудовою плоскої дискретної рівноланкової кр