РАЗДЕЛ 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ УСИЛЕНИЯ КОНТУРНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ НА ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯМИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1. Математические основы решения задачи аналитического конструирования регуляторов на основе модифицированного принципа симметрии
Проблема синтеза систем автоматического управления с требуемыми динамическими свойствами в той или иной мере связана с концепциями обратных задач динамики, в результате решения которых по заданному закону движения системы определяются силы или управляющие воздействия, под действием которых это движение осуществляется. В самом широком понимании содержание обратных задач динамики включает определение законов управления движением динамических систем и их параметров из условия воспроизведения назначенных траекторий.
Определение законов управлений движением динамических систем составляет содержание структурно-алгоритмического синтеза САУ. С другой стороны, определение параметров динамической системы является задачей параметрического синтеза, когда структура системы управления предполагается заранее известной. В любой постановке проблемы синтеза конечной целью является определение таких структур и параметров САУ, при которых процессы динамики систем протекают по предписанным законам или максимально приближаются к процессам, протекающим в некоторой эталонной модели. Аналогичная цель достигается решениями обратных задач динамики. Это позволяет сделать вывод о том, что методы синтеза САУ прямо или косвенно связаны с концепциями обратных задач динамики. В каждом из них в явном виде или косвенно задана эталонная модель невозмущенного движения и требуется определить закон управления в функции переменных состояния управляемого объекта, обеспечивающий движение изображающей точки по заданным траекториям.
Рассмотрим синтез системы управления, которая обеспечивает движение изображающей точки по назначенной траектории, как решение обратной задачи динамики [70, 71].
Пусть движение объекта управления описывается системой дифференциальных уравнений (1.13):
Система (1.13), содержащая n уравнений, может быть приведена к одному дифференциальному уравнению n-го порядка
. (2.1)
Требуется определить управляющее воздействие u, которое обеспечит движение управляемой координаты y1(t) по желаемой траектории y1*(t).
Определим управляющее воздействие в соответствии с основной идеей обратных задач динамики из уравнения (2.1)
. (2.2)
Если в выражении (2.2) заменить значение переменной y1(t) на ее желаемое значение y1*(t), получим:
. (2.3)
На основании уравнения (2.3) можно сформулировать общие положения определения управляющих воздействий, обеспечивающих движение системы по желаемой траектории. Из анализа выражений (2.1) и (2.3) следует, что операции формирования желаемого управляющего воздействия обратные операциям, определяющим структуру математической модели объекта управления, т.е. входная переменная y1* алгоритма управления представляет собой обращенную переменную y1 математической модели объекта управления.
На рис. 2.1 приведена структурная схема системы управления, построенной в соответствии с уравнениями (2.1) и (2.3) при n=2.
Рис. 2.1. Система управления объектом второго порядка (n=2)
Входной переменной системы является траектория невозмущенного движения y1*, а выходной - реальная переменная y1. Если выполнить обращение соответствующих операций и переменных, то изменится направленность схемы, т.е. выход системы станет ее входом и наоборот, а общая конфигурация структурной схемы не изменится (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Обращенная система управления объектом второго порядка
Таким образом, можно сформулировать следующее правило: алгоритм формирования управляющего воздействия строится по принципу симметрии структуры и обращения операций по отношению к структуре и группе операций, соответствующих математической модели управляемого процесса[70].
Приведенные структурные схемы наглядно иллюстрируют свойства симметрии, присущие системам автоматического управления. Эти свойства однозначно определяют структуру и параметры управляющей части системы. При этом задача конструирования алгоритмов управления полностью соответствует концепциям обратных задач динамики и сводится к отысканию управляющей функции u*, обеспечивающей движение объекта по предписанной траектории у*.
Но решение обратных задач динамики осуществляется из предположения, что желаемая траектория движения известна заранее и задана в том или ином виде. Выбор траекторий неизбежно содержит элементы субъективизма и не исключает возможность итерации в процессе поиска оптимальных решений, в наилучшей мере удовлетворяющих требованиям технических заданий на проектирование систем управления. Необходимо также учитывать наличие естественных ограничений на максимальные значения управляющих воздействий и некоторых переменных состояния объекта управления. В подавляющем большинстве случаев задающие воздействия для САУ электроприводами представляют собой ступенчатые функции и реализация законов управления, полученных в результате решения обратных задач динамики, неизбежно приводит к необходимости построения формирователей траекторий невозмущенного движения, что не всегда является экономически и технически оправданным.
Рассмотрим структурную схему в общем виде линейного или линеаризованного объекта управления (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Структурная схема прямого канала линейного объекта управления
Для обеспечения идеального воспроизведения желаемой траектории движения по принципу симметрии необходимо, чтобы эквивалентная передаточная функция рассматриваемой разомкнутой системы была равна единице. Это условие выполняется если передаточная функция управляющей части системы Wy(p) обратна передаточной функции управляемого объекта W0(p):
. (2.4)
Однако, воспроизведение заданных траекторий движения в разомкнутых системах, построенных на