ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В
ВИХРЕВЫХ КЛАПАНАХ-УСИЛИТЕЛЯХ
С ДИФФУЗОРНЫМ ВЫХОДОМ
2.1. Математическое моделирование течения в вихревом клапане-усилителе
Как было сказано в предыдущем разделе, наличие диффузора на выходе вихревого клапана-усилителя приводит к невозможности применения интегральных и полуэмпирических моделей, а также моделей основанных на интегральных соотношениях Кармана для пограничного слоя ввиду наличия режимов работы вихревого клапана-усилителя, характеризующихся сильной закруткой и отрывом потока в диффузоре. Использование моделей для осесимметричного течения также невозможно, ибо отрыв не может носить двумерный характер. Принадлежность вихревых клапанов-усилителей, входящих в состав струйных исполнительных устройств к классу макроустройств приводит к тому, что поток, протекающий через него, имеет сильно развитую турбулентную структуру. Наличие проблемы такого рода приводит к тому, что для наиболее правдоподобного математического описания необходимо использовать трехмерные уравнения Навье - Стокса осредненные по Рейнольдсу. Поскольку зачастую рабочие давления и скорости (для газообразной рабочей жидкости) невысоки, то можно ограничиться уравнениями для несжимаемой жидкости, которые в декартовой системе координат примут вид [20, 38]:
;(2.1)
где , и - проекции осредненной составляющей вектора скорости на оси координат x, y и z соответственно;
, и - проекции пульсационной составляющей вектора скорости на оси координат;
, и - проекции вектора массовых сил на оси координат;
- плотность среды;
- статическое давление;
- молекулярная кинематическая вязкость.
Для замыкания математической модели к уравнениям движения необходимо добавить уравнение неразрывности.
или в проекциях на оси координат:
. (2.2)
В уравнениях движения члены вида:
являются напряжениями Рейнольдса, а вся их совокупность, состоящая из девяти членов - тензором "рейнольдсовых" напряжений, порождаемых турбулентными пульсациями.
Непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) полученной математической модели невозможно ввиду наличия дополнительных девяти неизвестных, к которым относятся компоненты тензора "рейнольдсовых" напряжений и возможно только в случае использования эмпирических моделей турбулентности основывающихся на понятии турбулентной вязкости, связывающих напряжения Рейнольдса с параметрами осредненного потока.
Уравнения движения математической модели с использованием эффективной вязкости [20, 38]:
; (2.3)
где , а - турбулентная (вихревая) кинематическая вязкость.
Воспользуемся обобщенной гипотезой Буссинеска для записи связи между напряжениями Рейнольдса и турбулентной вязкостью [20, 38].
где - осредненный тензор относительных скоростей деформаций;
- кинетическая энергия турбулентности;
- тензорная единица.
Для снижения вычислительной стоимости интегрирования уравнений математической модели вся область течения разбивается на две зоны: область ядра потока и область пограничного слоя. В области ядра потока течение описывается уравнениями Навье-Стокса осредненных по Рейнольдсу, а в области пограничного слоя по приведенной ниже зависимости:
, (2.4)
где - скорость в ядре потока;
- координата по толщине пограничного слоя;
- высота пограничного слоя;
- показатель степени, зависящий от числа Рейнольдса.
Степенная зависимость распределения скорости по толщине пограничного слоя хорошо согласуется с экспериментальными данными [38].
Таким образом, в полученную математическую модель войдут уравнения (2.2)-(2.4).
Для замыкания уравнений математической модели возникает потребность в адекватной модели турбулентности.
2.2. Моделирование турбулентности в различных зонах течения в вихревом клапане-усилителе
Полученная математическая модель состоит из четырех уравнений (трех уравнений движения и уравнения неразрывности) и содержит десять неизвестных величин, что говорит о незамкнутости математической модели. Для замыкания математической модели необходимо использовать модель турбулентности для определения связи турбулентной вязкости с параметрами осредненного потока. Все модели турбулентности можно разделить на два основных класса: модели поля осредненных скоростей и модели поля осредненных характеристик турбулентности. В свою очередь модели поля осредненных характеристик турбулентности подразделяются на модели замыкания с помощью поля напряжений Рейнольдса и поля кинетической энергии турбулентности.
Как показывает практика расчетов использование моделей второго класса для расчетов простых течений нецелесообразно, поскольку увеличение сложности математических моделей не приводит к существенному повышению точности. Однако, существуют исключения, так для расчета закрученного осесимметричного течения использование моделей поля осредненных характеристик турбулентности дает лучшее согласование с экспериментальными данными.
В более сложных случаях, сильно закрученных и отрывных течений применение моделей турбулентности, не использующих гипотезу Буссинеска, в частности, модель напряжений Рейнольдса [3, 92], позволяет получить более высокую точность. Для расчета на такой модели к уравнениям математической модели добавляются шесть нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для каждого из напряжений Рейнольдса и еще два дифференциальных уравнений в частных производных описывающих перенос характеристик турбулентности. Дополнительные уравнения выводятся из уравнений Рейнольдса с использованием определенных допущений для замыкания системы. Решая уравнения модели турбулентности, находят напряжения Рейнольдса и непосредственно подставляют их в уравнения движения, не используя понятие турбулентной вязкости. Однак