РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЧИСЛОВОГО ДОСЛІДЖЕННЯ ПРУЖНОГО НЕЛІНІЙНОГО ДЕФОРМУВАННЯ ПРОСТОРОВО ВИКРИВЛЕНИХ ТРУБОПРОВОДІВ
2.1. Геометрія елемента трубопроводу при його просторовому
необмеженому пружному деформуванні
При опусканні трубопроводу на значні глибини пружні переміщення можуть бути настільки великі, що форма осьової лінії буде істотно відрізнятися від прямолінійної. У випадку, якщо довжина зануреної частини трубопроводу значно перевищує його діаметр, будемо розглядати трубопровід як пружний стрижень.
Для опису пружних переміщень трубопроводу розглянемо основні положення теорії гнучких стрижнів. З геометричної точки зору гнучкий стрижень представляється просторовою кривою. Розглянемо внутрішню і зовнішню геометрії елемента кривої. Найбільш зручним способом представлення кривої є параметричне представлення , де s - параметр (криволінійна координата) [13, 118], похідна радіуса-вектора по s є одиничний вектор , спрямований по дотичній, тобто . Похідна від є вектор, ортогональний . У результаті перетворень отримаємо [117]. Для кривої в просторі до дотичної в якій-небудь точці А можна провести нескінчену кількість нормалей, що лежать у площині, перпендикулярній векторові . Введемо одиничний вектор , ортогональний векторам і . Ортогональний базис векторів , , називається тригранником осей або головним тригранником (рис 2.1), позначимо його { } [118].
Рис. 2.1. Взаємне розташування систем координат
Розглянемо похідні одиничних векторів , , по координаті s. Оскільки похідна від вектора по скалярному аргументу є вектор, то представимо його у вигляді розкладання по базисних векторах { n}: , де - елементи деякої матриці , що характеризують геометрію просторової кривої, з якою зв'язаний головний тригранник. Замість матриці можна переходити до вектора .
Рухом головного тригранника (i, j ,k) щодо системи координат (x, y, z) визначається геометрія осі елемента при просторовому деформуванні. У кожній точці кривої можна побудувати природний базис , що складається з головної нормалі , бінормалі і дотичної (природний тригранник). Для кожного поперечного перерізу елемента, незалежно від його деформованого або недеформованого стану, вектор тригранника осей збігається з одиничним вектором природного тригранника і, отже, площина (е1,е2) збігається з дотичною площиною (i,j). Як видно, розглянуті тригранники мають загальний початок і загальний вектор =. Таким чином, їх можна сумістити, обертаючи навколо цього вектора на кут , що відраховується від осі . Вектор, що характеризує геометричні властивості кривої і представлений через проекції на осі природного тригранника, прийнято позначати і називати вектором Дарбу. Проекції вектора на осі , , позначаються , ,, відповідно й у загальному випадку мають вигляд [117]:
, , . (2.1)
Величини , є головними кривизнами елемента (у площинах , і ,). Величина називається крутінням осі стрижня. Відзначимо, що якщо крутіння кривої пов`язане з рухом природного тригранника (е1, е2, е3) уздовж пружної лінії, то крутіння осі елемента пов`язане з рухом уздовж тієї ж пружної лінії головного тригранника осей (i, j ,k). Якщо величини , дорівнюють нулеві, такий стрижень є просторово криволінійним. Якщо або , або дорівнюють нулю, стрижень криволинійний у площині. У випадку, коли не дорівнює нулю, тотожно по s, стрижень вважається природно закрученим. При =0, =0 і =0 стрижень прямолінійний. Похідні одиничних векторів природного тригранника мають вигляд [99]:
, , . (2.2)
Дані вирази носять назву формули Френе-Серре. Вектор Дарбу:
. (2.3)
У декартових прямокутних координатах вектори кривизни виражаються таким чином:
. (2.4)
Для крутіння використовується наступна формула:
. (2.5)
Переміщення головного тригранника характеризується матрицею [88]. Вектор Дарбу розкладається по векторах базису {}:
.
Таблиця 2.1
Таблиця направляючих косинусів
cos sin0- sincos 0001
Тому, переходячи до базису природних осей, отримаємо
, (2.6)
але в базисі компоненти вектора Дарбу дорівнюють ?i , тому
; ; . (2.7)
З рівнянь (2.7) знайдемо вирази, що зв`язують кривизну кривої з компонентами раніше введеної матриці :
, (2.8)
тобто і є проекціями вектора кривизни на напрямки векторів .
Постановка задач про пружне деформування елемента вимагає залучення кінематичних граничних умов, що виражають зв`язки, накладені на переміщення і кути повороту кінців розглянутого елемента [49, 74].
Розглянемо рух точки A з радіус-вектором по якійсь кривій у просторі (рис 2.2). Визначимо положення точки В на кривій довжиною дуги s, яка відлічується від деякої визначеної точки М0 до точки A і вважається позитивною в один бік від точки М0 і негативною в інший.
Рис. 2.2. Переміщення точки по кривій
Таким чином, розглядається як функція деякого скалярного аргументу s. Розглянута крива є годографом радіуса - вектора , і тому напрямок збігається з напрямком дотичної до кривої у бік дуги s . Величина дорівнює
одиниці, оскільки є