РОЗДІЛ 2
ЧИСЕЛЬНО - АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ'ЯЗКІВ АВТОНОМНИХ СИСТЕМ
ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
2.1. Вступ
Умови існування періодичних розв'язків диференціальних рівнянь із запізненням досліджувались в працях К. Перелло, С. Інвернізі, Ф. Заноліна, Ю.О. Митропольського, Д.І. Мартинюка та інших авторів.
Для знаходження наближених розв'язків таких рівнянь розвинено метод тригонометричної колокації, який описаний в роботах А. Белена, А.М. Самойленка, М.Й. Ронто, чисельно - аналітичний метод А.М. Самойленка та топологічні методи, які досліджувались М.А. Красносельським, Дж. Хейлом, Р. Графтоном та іншими.
Застосування чисельно - аналітичного методу А. М. Самойленка для дослідження і наближеної побудови періодичних розв'язків автономних систем звичайних диференціальних рівнянь розглянуто в працях [73, 26].
У даному розділі вивчається чисельно - аналітична схема дослідження існування та наближеної побудови періодичних розв'язків автономних систем диференціальних рівнянь із запізненням. Доведено теореми про існування періодичних розв'язків, встановлено похибку наближеного розв'язку, доведено збіжність послідовних наближених розв'язків до точного. Розглянуто особливості лінійної заміни змінних при зведені автономної системи із запізненням до неавтономної та проведено ілюстрацію схеми методу на прикладі рівняння із запізненням типу Ван дер Поля.
2.2. Загальна схема чисельно - аналітичного методу для автономних систем із запізненням
Розглянемо автономну систему диференціальних рівнянь із запізненням
, (2.1)
де , , .
Крайові умови вигляду
(2.2)
визначають задачу про відшукання періодичних розв'язків періоду для системи (2.1).
Тривіальні розв'язки задачі (2.1) - (2.2) для довільного є розв'язками системи рівнянь
. (2.3)
Якщо виключити зазначені тривіальні розв'язки, то задачу про періодичні розв'язки автономної системи (2.1) будемо розглядати як крайову задачу (2.1) - (2.2). При цьому потрібно знайти її Т - періодичний розв'язок і відповідне значення періоду .
Нехай D - замкнена обмежена область із . Припустимо, що права частина системи (2.1) є визначена і неперервна в функція із значенням в .
Здійснивши, аналогічно як в роботі [73], заміну змінних
, (2.4)
одержимо задачу про відшукання періодичного розв'язку з періодом для системи диференціальних рівнянь
, (2.5)
, (2.6)
де , .
Нехай задача (2.5) - (2.6) для деякого має нетривіальний розв'язок
. (2.7)
Оскільки права частина в системі (2.5) не залежить явно від , то поряд із (2.7) вона має також розв'язки вигляду
,
де - довільна стала з відрізка .
Функція є неперервною і періодичною, тому вибором параметра можна домогтись того, щоб екстремальне значення деякої фіксованої координати розв'язку досягалось при . Це означає, що крайова задача (2.5) - (2.6) може мати розв'язок тільки при додатковій умові: значення повинно знаходитись на поверхні
. (2.8)
Відзначимо, що при вивченні - періодичних розв'язків системи (2.1), без обмеження загальності можна вважати, що . Дійсно, в протилежному випадку подамо у вигляді , де . Всі періодичні розв'язки системи (2.1) співпадають з періодичними розв'язками системи
.
Крім того, періодичні розв'язки для рівнянь із запізненням визначаються початковою функцією, що є періодичним продовженням на початкову множину цього розв'язку [39]. Тому співвідношення (2.8) можна замінити еквівалентною йому рівністю
. (2.9)
Зведемо систему (2.5) до неавтономної періодичної з періодом системи. Для цього здійснимо заміну змінних
, (2.10)
де функція визначена в області неперервно диференційовна по ; періодична по з періодом ; приймає значення в області і виконується умова
(2.11)
для всіх .
Крайова задача для системи (2.5), внаслідок заміни (2.10), перетворюється в задачу знаходження - періодичних розв'язків неавтономної системи
, (2.12)
де =.
Умова (2.9), при виконанні якої можливий періодичний розв'язок системи (2.5), внаслідок заміни (2.10), приймає вигляд
. (2.13)
Припустимо, що співвідношення (2.13) дозволяє представити значення в параметричному вигляді
, (2.14)
де - параметр, - функція, що визначена в області .
Через позначимо розв'язок рівняння
. (2.15)
і застосуємо чисельно - аналітичну схему послідовних періодичних наближень [74] для знаходження періодичного розв'язку системи (2.12).
Припустимо, що для значень із деякого відрізка , і значень виконуються такі умови:
1) , (2.16)
де - вектор з невід'ємними координатами;