РОЗДІЛ 2
ЕВОЛЮЦІЯ ОРБІТАЛЬНОГО КУТОВОГО МОМЕНТУ В СКЛАДНИХ ПУЧКАХ
2.1. Орбітальний кутовий момент сингулярних променів
Одним із об'єктів дослідження сингулярної оптики є орбітальний кутовий момент, яким характеризуються оптичні пучки, що не володіють центрально-осьовою симетрією. Досліди по виявленню орбітального кутового моменту вихрових пучків [68-71] дали підтвердження його наявності. Але вимірювання даного параметра може бути здійснено лише опосередковано, і аналізу піддається лише його інтегральна величина. Відсутність експериментів по вимірюванню розподілу орбітального кутового моменту, тобто експериментів по аналізу структури розподілу орбітального кутового моменту, зумовлена в основному двома причинами: по-перше, малими значеннями орбітального кутового моменту, а по-друге, необхідністю для таких вимірювань наноінструментів [68,69], які б мали можливість вимірювати малі зміни орбітального кутового моменту [72] і одночасно забезпечували точність переміщень на рівні нанометрів. Принципово можливо використовувати для таких цілей оптичний пінцет, який утримує мікрочастку [12,73,74]. Переміщення частки контролювалося б за допомогою оптичного пінцета, а аналіз поведінки може дати опосередковані данні про величину та характер розподілу орбітального кутового моменту. Нажаль, поки що така методика не реалізована на практиці, і тому основним методом дослідження оптичного орбітального кутового моменту є комп'ютерне моделювання. Методи комп'ютерного моделювання дозволяють отримати характеристики за допомогою відомої інформації [75]. Так як при моделюванні використовується інформація, раніше отримана теоретично і підтверджена експериментально, то моделювання слугує як той складний інструмент, який потрібен для вирішення необхідних питань, але який важко реалізувати на практиці, тобто експериментально.
Для випадків одиночних оптичних вихорів LG0|m| та простих комбінованих пучків, отриманих як суперпозиція LG0|m| та ТЕМ00 (LG00), було проведені моделювання [76], результати яких були добре прогнозовані завдяки розумінню природи цього явища. Обертання поля навколо вісі вихору є причиною ненульового кутового моменту променя - це зумовлюється наявністю тангенціальної складової вектора Умова-Пойтинга [22,23]. В параксіальному наближенні, коли модуль вектора Умова-Пойтинга пропорційний інтенсивності світла хвилі, ми отримуємо вираз для густини орбітального кутового моменту, який характеризує розподіл орбітального кутового моменту:
Mz(,,z)-mEs(,,z)2 . (2.1)
У загальному випадку - це результат векторного добутку:
M=0r x (E x B), (2.2)
де 0 - електропровідність середовища. Використовуючи рівняння Максвела, отримуємо:
. (2.3)
Зірочкою відмічені комплексно спряжені величини. Завдяки алгебраїчним перетворенням, отримується усереднена по часу густина орбітального кутового моменту спрямована вздовж осі:
. (2.4)
Загальний орбітальний кутовий момент Lz - це інтеграл по перетину променя
. (2.5)
Результатом інтегрування буде слідуючи рівняння:
, (2.6)
де m - це топологічний заряд оптичного вихору, W - енергія оптичного променя, ? - частота.
Розподіл орбітального кутового моменту сингулярного променя (Mz) пропорційний добутку топологічного заряду на інтенсивність променя з циркулярно симетричним амплітудним розподілом. Загальний кутовий момент (Lz) пропорційний енергії променя, що випливає з рівняння (2.6). У середовищі без поглинання, загальний орбітальний кутовий момент зберігається.
Також потрібно відмітити, що орбітальний кутовий момент сингулярного променя не залежить від довжини хвилі, що наглядно видно, якщо записати енергію як суму кількох фотонів із енергією . Звідки для сумарного орбітального кутового моменту випливає:
, (2.7)
Рівняння 2.7 наглядно демонструє, що кожен із N фотонів несе орбітальний кутовий момент пропорційний mh [77].
2.2. Орбітальний кутовий момент комбінованих пучків
Комбінованими пучками в сингулярній оптиці називають суперпозицію декількох Лагера-Гаусових мод. В загальному вигляді рівняння Лагер-Гаусової моди записується як:
,(2.8)
де Е0 - амплітудний параметр, k - хвильове число, 0 - величина перетяжки, відповідна довжина Релея LR = k02/2. Поперечний розмір променя залежить від віддалі z між площинами спостереження та перетяжки
= 0 (1+z2/LR), R = z(1+LR / z2) - кривизна хвильового фронту. -- поліном Лагера із цілочисельними індексами l та p , де l характеризує кількість змін на 2? при обході навколо осі пучка, а кількість вузлів вздовж радіального розподілу хвильової амплітуди дорівнює p при l=0 та p+1 при l?0, індекс Q = 2p+|l|+1. Моди із рівними значеннями Q належать до одного сімейства і розповсюджуються із однаковою фазовою швидкістю. Індекс Q керує додатковим фазовим зсувом, який називається фазою Гуї і дорівнює [78].
абвгдеРис 2.1 Розподіл інтенсивності та інтерференційні картини для слідуючих Лагера-Гаусових мод: (а,г) -LG00 (TEM00) або Гаусова мода, (б,д)- LG01 або оптичний вихор, (в,е) - LG10 або кільцева крайова дислокація.
Для комбінованого променя, отриманого внаслідок суперпозиції N коаксіальних Лагера-Гаусових променів, що містять оптичні вихори з топологічним зарядом mi = l, розподіл орбітального кутового моменту дорівнює [12]:
. (2.9)
Це правило виконується не тільки для сингулярних променів з Гаусовою огинаючою, але й для всіх хвиль із аксіальною симетрією амплітудн