РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ПОСТРОЕНИЯ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ВРЕМЕНЕМ УСТАНОВЛЕНИЯ
2.1. Исследование апериодического регулятора
При проектировании линейных систем управления для линеаризуемых инвариантных объектов с дискретно изменяющимися сигналами применяются два основных класса регуляторов: параметрически- и структурно-оптимизируемые регуляторы. Регуляторы, у которых вид и порядок описывающих их уравнений задан, а свободные параметры подстраиваются под управляемый объект с использованием критерия оптимизации или определенных правил настройки, называются параметрически-оптимизируемыми. Если и структура, и параметры регулятора оптимально подстраиваются под структуру и параметры объекта, то такие регуляторы называются структурно оптимизируемыми (это компенсационные регуляторы и регуляторы состояния). Исследование структурно оптимизируемых регуляторов можно найти в работах [85, 86, 17, 132]. Предлагается произвести синтез регулятора с конечным временем установления (апериодического типа), который бы обладал лучшими качественными показателями по сравнению с классическими.
Особенностью апериодических регуляторов является быстрая сходимость за счет сильных колебаний управляющей переменной [86]. Сильные колебания, в большинстве своем, ограничивают сферу применимости данного класса регуляторов. Для увеличения возможностей применения предлагалось в [17] использовать ограничение по начальному значению управляющей переменной, но и при этом качество управления не всегда оказывалось удовлетворительным. Предлагается развить концепции апериодического регулирования для того, чтобы расширить применимость этих регуляторов.
2.1.1. К л а с с и ч е с к а я с и с т е м а у п р а в л е н и я . Рассмотрим систему управления, изображенную на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Система управления с обратной связью
Пусть динамические свойства линейного стационарного объекта такой системы полностью определяются уравнением:
где - полиномы модели объекта;
- параметры объекта;
- величина запаздывания;
- управляемая переменная;
- регулирующая переменная;
- сигнал возмущения;
- задающий сигнал;
- передаточная функция регулятора;
- передаточная функция объекта.
Необходимо минимизировать время регулирования и улучшить качественные показатели (средний квадрат ошибки управления среднюю входную мощность квадратичный критерий качества ) по сравнению с аналогичными результатами, полученными в работе [5].
2.1.2. С и н т е з а п е р и о д и ч е с к о г о р е г у л я т о р а . Считая, что переходной процесс после конечного однократного воздействия сходится, зададим желаемые значения регулирующей переменной на первых двух тактах (как максимальное и минимальное отклонение от установившегося значения) для ограничения сверху и снизу регулируемой переменной. Таким образом, получим область изменения регулируемой переменной. Ограничив максимальное и минимальное отклонение, увеличим временя установления на два такта по сравнению с обычным апериодическим регулятором, что, как будет показано ниже, улучшит показатели качества.
Конечная формула предлагаемого регулятора записывается уравнением:
где - переменные регулятора;
- начальное значение регулируемой переменной;
- задающая переменная;
- ошибка управляемой переменной.
Передаточная функция, предлагаемого регулятора, описывается уравнением:
где , - полиномы числителя и знаменателя дискретной передаточной функции регулятора;
- порядок полиномов модели объекта;
Рассмотрим процесс получения этой формулы. Допустим, что изменение задающей переменной происходит в момент времени , т.е. . Наложим ограничения на процесс управления для получения минимального конечного времени установления переходного процесса:
преобразования задающей, регулируемой и управляющей переменной следующие [17]:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Разделим уравнения (2.2) и (2.3) на (2.1), получим:
(2.4)
(2.5)
Учитывая выражения (2.4) и (2.5) желаемую передаточную функцию объекта, можно записать в виде:
(2.6)
Для нахождения коэффициентов регулятора предположим, что числитель и знаменатель правой части уравнения (2.6) содержит два общих корня. Таким образом,
(2.7)
Распишем коэффициенты передаточной функции объекта:
(2.8)
Коэффициенты передаточной функции удовлетворяют соотношениям:
(2.9)
Поделив уравнение (2.7) на и используя выражение (2.6) и (2.8), получаем:
(2.10)
Следовательно, связь между коэффициентами левой и правой части уравнения (2.10) следующая:
(2.11)
Выписав параметры полных полиномов числителя и знаменателя левой части уравнения (2.10) и приравнивая коэффициенты в правой части уравнения (2.7) и левой части уравнения (2.10), запишем следующие соотношения:
(2.12)
Учитывая, что и , используя выражения (2.12), находим:
(2.13)
Анализируя формулу (2.12) видим, что для вычисления параметров этого регулятора (коэффициентов полиномов , ) применяются вспомогательные переменные По структуре синтеза данного регулятора получается, что где - значение управляющей переменной на первом шаге. Вместе с тем сумму можно вычислить по формулам:
Преобразуя эту формулу, можем избавиться от
(2.14)
Это удобно, т.к. особенностью данного регулятора является задание и Любой параметр числителя регулятора может быть вычислен по формуле:
(2.15)
Зная, что и учитывая формулу (2.14), запишем (2.15) в следующем виде:
(2.16)
где параметры объекта управления;
значение полинома числителя дискретной передаточной функции модели объекта при т.е. где порядок полинома
Аналогично изменяются формулы для вычисления параметров знаменателя передаточной функции:
(2.17)
Данное преобразование позволяет находить параметры без выч