РАЗДЕЛ 2
ПРИНЦИПЫ И МЕТОДОЛОГИЯ
ВИЗУАЛИЗАЦИИ ДВУМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ
В главе на примере функции одной переменной формализован процесс построения базы данных и получения графической информации, отображающий дифференциальные свойства объекта и повышающий надежность и достоверность информационного обеспечения при проектировании сложных инженерных сооружений, позволяющий формировать графический образ, в основе которого использован подход рекурсивного уточнения области исследования [87]. Это рекурсивное уточнение позволяет отобразить результат с максимальной наглядностью, причем ценою малой трудоемкости. Использование при этом изменение степени рекурсивной вложенности информативно повышает оценку точности представления исследуемого образа так, что уже на первых этапах уточнения можно оценить исследуемый образ.
2.1. Построение графических образов вспомогательных информационных графических слоев двумерных объектов
В предлагаемом способе визуального анализа используются известные принципы исследования функций посредством производных [10,45,54,97,111]. Этот принцип предполагает выделение таких функциональных свойств, как: возрастание и убывание функции, определение экстремальных точек, максимум и минимум функции, выпуклость и вогнутость, а также точки перегиба функции.
Задача состоит в получении наглядных графических образов как вспомогательных элементов отображения этих свойств для выделения некоторых "качеств" исследуемой функции. Приведем определения этих "качеств", поскольку в следующих главах будут иметь место частые ссылки на них.
Под графическим образом вспомогательных элементов в данном случае будем понимать совокупность отрезков, отображающих конкретные функциональные свойства посредством использования градаций цветового изменения [90].
Рассмотрим общую концепцию, на которой построен предлагаемый подход исследования функции.
Возрастание и убывание функции. Функция является возрастающей на некотором промежутке, если на этом промежутке производная , и убывающей, если [45].
Исходя из этого признака, возрастание и убывание функции определяется изменением знака производной в ее области определения. Это позволяет отразить области возрастания и убывания графически, путем окраски соответствующих интервалов числовой прямой.
На рис. 2.1 показан пример визуального выделения проявлений свойства "возрастания и убывания" с помощью окраски числовой оси соответственно белым и черным цветом.
Одномерный образ несёт визуальную информацию о свойстве возрастания и убывания функции и её экстремальных точках. Геометрический смысл заключается в определении направления проекции вектора нормали для каждой точки кривой на ось Ох. Если направление проекции нормали совпадает с положительным направлением самой оси, определяемым направлением её единичного вектора , то можно утверждать, что функция убывает, в противном случае функция возрастает, т.е.
На замкнутом отрезке (см. рис. 2.1) направление проекции вектора нормали не совпадает с положительным направлением оси Ox, следовательно, на этом отрезке функция возрастает и числовая ось окрашена в белый цвет.
На отрезке направление проекции вектора нормали совпадает с положительным направлением оси Ox, т.о. на данном отрезке функция убывает и числовая ось окрашена в черный цвет соответственно.
В рассмотренном выше образе отсутствует информация обо всех критических точках исследуемой функции, и отсутствуют выпуклые и вогнутые зоны, поэтому неопределимы точки перегиба.
Приведем простой алгоритм определения приближенных участков возрастания и убывания функции методом итерационного уточнения.
Рассмотрим функцию, заданную на отрезке длиною . Определим углы наклона касательных векторов в точках и (рис.2.2):
,
Для определения промежутков возрастания (убывания) функции необходимо определить тангенс среднего значения углов наклона касательных векторов .
Если - то на отрезке функция возрастает, если - то функция убывает.
Точность полученных данных зависит от уровня дискретизации области определения.
Критические точки. Под критическими точками принято понимать значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или в бесконечность либо терпит разрыв [45]. Эта информация также подлежит визуализации посредством цветовых или тоновых сочетаний. Например, использование градаций цветового перехода "от черного к белому" позволяет отобразить области существования критических точек (рис.2.3), при этом отбрасывается информация о возрастании и убывании исследуемой функции. Геометрический смысл заключается в определении угла ?, образуемого вектором нормали для каждой точки кривой и осью Ох.
Если наклон нормали совпадает с наклоном оси Ох, то можно утверждать, что производная функции стремится к бесконечности. Если направление нормали перпендикулярно оси Ох, то можно утверждать, что производная функции равна нулю, т.е.
Присвоив каждому из этих случаев соответственно черный и белый цвет, а промежуточным положениям вектора нормали - соответствующую градацию перехода от черного к белому, получим искомый образ (см. рис. 2.3). Полученный результат достаточно наглядно отображает изменение кривизны исследуемой функции, отбросив информацию о возрастании и убывании, а также выпуклости и вогнутости. К тому же полностью отсутствует информация о максимуме и минимуме рассматриваемой кривой.
Выпуклость - вогнутость. Точка будет являться точкой перегиба, если существует вторая производная , причём имеющая в окрестности этой точки разные знаки. Точки отрицательных значений второй производной определяют собой область, где функция выпуклая вверх, а точки положительных значений определяют собой область, где функция выпуклая вниз.
Точки, разделяющие выпуклые и вогнутые участки кривой, называются точками перегиба [45].
Геометрически, изменение характера выпуклости функции можно рассматривать как и