РОЗДІЛ 2. ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЦИЛІНДРИЧНИХ ВІДБИВАЧІВ ІЗ ЗАДАНИМИ ВЛАСТИВОСТЯМИ
У другому розділі розглянуто теоретичні питання розрахунку відбивальних систем.
Введено поняття функції, керуючої розподілом відбитих променів (керуюча РВП- функція), що показує закон розподілу відбитих від рефлектора променів на вісі Ox і має ключове значення для визначення форми відбивача. За допомогою цієї функції можна керувати тепловим потоком згідно з заданим законом, який в свою чергу визначається технологічним процесом. Показано, якщо закон розподілу відбитих променів взаємообернений до розподілу променів прямого опромінення, то це забезпечує на теплоприймачі рівномірний тепловий потік.
Складено та розв'язано диференціальне рівняння відбитих променів для опису відбивача з врахуванням керуючої РВП- функції. Промені, що відбиті від циліндричного профілю у точках з координатами (х; у(х)), описані за допомогою ортотоміки (кривої уявних джерел). Також здійснено профілювання відбивальної кривої в залежності від керуючої РВП- функції та засобами процесора TbCurve одержано аналітичний опис рефлектора.
Розглянута обернена задача розрахунку відбивальних систем із точковим джерелом випромінювання, яка полягає у визначенні такої форми відбивальної кривої на площині, що забезпечує потрапляння усіх відбитих променів у задану точку. Визначено геометричну форму та наближений опис циліндричних відбивачів у вигляді поліному.
2.1 Геометричне моделювання перебігу відбитих від рефлектора променів
2.1.1 Розв'язання диференціального рівняння відбитих променів. Природно вважати, що тепловий потік, який надходить до теплоприймача, складається з двох частин: тієї, яку випромінює джерело (ТЕН), і тієї, що приходить до теплоприймача після відбиття від рефлектора. Якщо розглядати тільки пряму "картину" розподілу променів на плоский теплоприймач, то, очевидно, що на деяких ділянках теплоприймача температура підвищюється до неприйнятної, а на інших - є недостатньою для тих чи інших технологічних процесів. Тому актуальною проблемою для подальшого дослідження є проектування відбивальних систем, які б компенсували нерівномірне пряме випромінювання і могли забезпечувати як рівномірний тепловий потік на поверхні, так і регулювання його інтенсивності відповідно до заданого закону, який визначається технологічним процесом.
Розглянемо систему поверхонь (рис. 2.1). Нехай у цій системі як джерело випромінювання використовується трубчастий ТЕН 2, теплоприймачем вибрана смуга на площині 1, також є циліндричний відбивач 3. На рисунку зображено перетин нормальною площиною елементів системи теплопередачі. Приймається, що елементи теплопередачі необмежені у напрямку нормалі площини малюнка, а діаметром ТЕНа можна знехтувати.
Тоді цей випадок можна звести до ідеального випадку передачі тепла від точки 2 (ТЕН) до відрізка 1 (смуга на площині) у межах площини. Виходячи з цього розглянемо задачу розрахунку вибраної відбивальної системи. Таким чином, постановка задачі полягає у визначенні профіля циліндричного відбивача (3) і розташування точкового джерела тепла (2), наявність яких забезпечила б рівномірне нагрівання відрізка 1 за умови, що на теплоприймач одночасно діють як пряме теплове випромінювання, так і промені, відбиті від рефлектора.
Рис. 2.1 Схема теплопередачі:
1 - приймач тепла;
2 - джерело нагріву;
3 - профіль рефлектора.
Для розв'язання цієї задачі розглянемо пряме опромінювання відрізка сімейством радіальних променів з однаковим кутовим кроком (рис. 2. 2).
Рис. 2.2 Схема прямого опромінювання
Помітно, що точки зустрічі променів з відрізком розташуються нерівномірно. Припустимо, що за допомогою рефлектора з'явилися нові точки зустрічі відбитих променів з відрізком (рис. 2.3).
Рис. 2.3 Схема відбитого опромінювання
Зважаючи на це можна сказати, що рівномірний обігрів відрізка очікується тоді, коли послідовність цих двох сімей точок будуть взаємооберненими. Тоді геометричну задачу можна сформулювати так: визначити форму рефлектора, який би забезпечив порядок точок перетинів променів з віссю Ох, обернений до порядку точок перетинів променів прямого випромінювання.
Наведемо схему (рис. 2.4) відбиття з використанням поняття уявного джерела.
Рис. 2.4 Схема відбиття з уявним джерелом
Припустимо, що у системі прямокутних координат Оху форму профілю рефлектора можна описати рівнянням y = y(x), а джерелом випромінювання є точка S(0; Н). тоді промені, що відбиті від профілю у точках з координатами (х; у(х)), можна визначити за допомогою ортотоміки (кривої уявних джерел), рівняння якої має вигляд []
(2.1).
(2.2)
Ці параметричні рівняння дозволяють отримати координати точки зустрічі відбитого променя з теплоприймачем (х - поточне).
Рівняння конкретного променя можна визначити за допомогою рівнянь (2.3), (2.4) при фіксованому значенні х [] :
;(2.3),(2.4)
де w - параметр, який характеризує довжину променя положення точки на прямій).
Для визначення точки зустрічі відбитого променя з віссю Ox розв'яжемо рівняння відносно w, яке складене на основі виразу (2.4). В результаті знайдемо значення w = wW. Після підстановки його у вираз (2.3) отримаємо значення координати у вигляді , після спрощення приходимо до залежності. Тобто, якщо у прямокутній системі координат Оху джерело променів розташовано в точці S(0, H), а рівняння відбивальної кривої R (рис. 2.5) має вигляд y = y(x), то абсцису xT точки зустрічі відбитого променя з віссю Ox слід обчислювати за допомогою формули (2.5):
(2.5)
Нехай потрібний закон розподілу відбитих променів на осі Ox (теплоприймачі) визначається функцією W = W(x). Тоді для опису відбивача, який би реалізував цей закон, маємо диференціальне рівняння (2.6):
(2.6)
Для опису форми профілю рефлектора y = y(x), що забезпечить на осі Ох закон розподілу відбитих променів згідно з функцією W(х),