РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОПРИВОДА МОТАЛКИ
НСХП КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ САР НАТЯЖЕНИЯ ПРЯМОГО
И КОСВЕННОГО ДЕЙСТВИЯ
2.1. Математическое описание упруговязкого объекта
Рассмотрим математическое описание нелинейной и нестационарной динамической системы моталка - упругодеформированная полоса - клеть (МПК), при этом в модели учтём упругие свойства вала, соединяющего двигатель и механизм моталки (упругость первого рода), и натянутой полосы, наматываемой на моталку (упругость второго рода).
При синтезе автоматических систем управления электроприводом часто предполагается, что кинематическая связь между двигателем и исполнительным органом не подвержена упругим деформациям и не содержит зазора. При таком допущении скорость двигателя и приведенная к двигателю скорость механизма равны между собой не только в установившемся, но и в переходных процессах. Влияние механизма на работу электропривода проявляется лишь в том, что механизм определяет характер момента нагрузки на двигателе, а момент инерции привода является суммой моментов инерции двигателя, редуктора и приведенного к двигателю момента инерции исполнительного органа (ИО). Изменение момента нагрузки на механизме в этом случае эквивалентно изменению момента нагрузки на двигателе. В большом числе случаев реализация, основанная на представлении о жёсткой связи двигателя и исполнительного органа, оказывается допустимой. Это связано с тем, что частота собственных упругих колебаний механизма оказывается значительно выше частоты, определяющей быстродействие автоматической системы управления электроприводом. Если это условие не выполняется, пренебрежение упругостью при анализе и синтезе системы может привести к ошибочным результатам. Чем выше быстродействие системы управления, тем больше вероятность того, что влияние упругости на работу системы управления электроприводом будет заметным.
Рассмотрению вопросов синтеза системы управления электроприводом реального механизма должно предшествовать создание математической модели механизма. Эта модель должна, с одной стороны, быть достаточно подробной для того, чтобы составленное на её основе математическое описание давало достоверную картину динамических процессов в области существенных частот. С другой стороны она должна быть по возможности простой, чтобы изучение этих процессов на её основе было реально осуществимым. Критерием допустимости принятого упрощения должно быть удовлетворительное совпадение теоретических результатов с результатами экспериментов.
При рассмотрении системы с сосредоточенными параметрами общепринятыми являются следующие допущения [94]:
? инерционные свойства звеньев отображаются сосредоточенными в точках массами или сосредоточенными в сечении моментами инерции;
? силы и моменты, действующие в системе, приложены к сосредоточенным массам, которые не подвергаются деформации;
? упругие связи между массами и моментами инерции считаем безынерционными; они характеризуются постоянной жёсткостью связи, т.е. коэффициентом пропорциональности между моментом (силой) и деформацией;
? деформация упругих связей линейна и подчиняется закону Гука;
? волновым движением деформации можно пренебречь;
? влиянием нерезонансных частот при резонансе пренебрегаем;
? потери энергии при деформации упругих связей не учитываются.
Так же, как и при исследовании жёстких автоматических систем управления электроприводами, при исследовании электроприводов с упругостью наиболее распространёнными формами математического описания являются дифференциальные уравнения, записанные в той или иной форме, нормированные детализированные структурные схемы [95], являющиеся графической интерпретацией дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме Коши, а также матричные структурные схемы, имеющие в настоящее время наибольшее распространение при описании линеаризованных систем [96, 97].
Для каждой массы многомассовой системы, в которой первой является масса двигателя, а остальные массы номеруются в порядке возрастания по мере удаления от двигателя, а индекс, относящийся к связи, образуется из цифр соответствующих последующей и предыдущей массам, может быть записано уравнение равновесия моментов:
, (2.1)
где ? скорость рассматриваемой ?й массы; ? момент инерции ?й массы; ? действующий на массу внешний момент (если это момент нагрузки, то ); , ? упругие моменты в передачах, связывающих рассматриваемую массу с другими массами системы (упругий момент входит в уравнение со знаком плюс, если в его индексе первой стоит цифра, соответствующая номеру рассматриваемой массы, и минус, если эта цифра стоит второй); ? в общем случае переменный коэффициент вязкого трения в передаче, характеризующий зависимость момента вязкого трения от скорости скручивания упругой передачи или ; ? действующий на массу момент внешнего трения. Общее число заключённых в скобки слагаемых в двух системах, обозначенных символом равно числу связей, соединяющих рассматриваемую массу с другими массами системы.
С учётом зазора угол скручивания упругой кинематической связи:
(2.2)
где ? зазор в передаче; .
Детализированная структурная схема, отвечающая уравнениям (2.1) и (2.2) для случая, когда ?я масса связана только с предыдущей ?й и последующей ?й массами, приведена на рис.2.1, а.
Рис. 2.1. Структурная схема механической части ЭМС
Располагая схемой расположения масс, зная характер и точки приложения внешних моментов и моментов трения, а также места включения зазоров можно записать уравнения (2.1), (2.2) и построить соответствующую структурную схему всей многомассовой системы.
В определённых режимах работы или когда приняты специальные меры к исключению влияния на работу системы зазоров и сухого трения, математическое описание может быть упрощено путём линеаризации системы. Линеаризация уравнений в условия переменности параметров может быть осуществлена методом замороженных коэффици