РАЗДЕЛ 2
СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КОМПАРАТОРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРЕДПОЧТЕНИЙ ЛПР НА ОСНОВАНИИ ПРИНЯТЫХ РЕШЕНИЙ
2.1. Постановка задачи компараторной идентификации параметров модели оценивания
Пусть имеется ограниченный набор альтернатив поведения (решений) , и каждая альтернатива описывается набором частных характеристик , допускающим объективное количественное измерение. Для обеспечения сравнимости альтернатив, значения разнородных частных характеристик , нормализованы, т.е. определены их функции полезности вида (1.10). В результате, множество альтернатив Х, характеризуется матрицей [17]:
.(2.1)
При анализе значений частных характеристик конкретной альтернативы , ЛПР формирует внутреннюю оценку этой альтернативы , отражающую для него полезность данной альтернативы, т.е. существует отображение множества альтернатив Х в множество индивидуальных оценок U [17]:
,(2.2) где F ? оператор модели оценивания;
? модель формирования многофакторных оценок альтернатив ().
В качестве оператора F используется обобщенная функция полезности альтернативы вида:
где ? значение весового коэффициента частной характеристики ;
? значение функции полезности частной характеристики , для альтернативы , определенное по формуле (1.10).
Обобщенная полезность каждой альтернативы из набора Х определяется для ЛПР матрицей:
,(2.3)
где ? матрица-столбец весовых коэффициентов, элементы которой характеризуют для ЛПР "ценность" частных характеристик.
Значения элементов множества U (субъективные оценки ЛПР) недоступны для количественного измерения, но поддаются качественному анализу.
Пусть для множества U выполняется два условия [17]:
* все оценки сравнимы между собой (обеспечивается корректным заданием множества альтернатив X);
* на множестве U существует отношение предпорядка, т.е. для элементов , выполняются аксиомы рефлексивности и транзитивности.
Анализ множества U позволяет сформировать на нем фактор-множество путем объединения в один класс всех равных оценок. Далее, фактор-множество можно упорядочить, указав порядок предшествования элементов и крайние элементы в цепи.
В соответствии с (2.2), процесс оценивания ЛПР пары альтернатив формально может быть описан в виде системы компараторов [10, 17,58]:
(2.4);(2.5)(2.6);(2.7)(2.8),(2.9)
где , ? предикаты равенства оценок и эквивалентности альтернатив, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности. Предикат позволяет преобразовать множество U в фактор-множество , элементами которого являются классы одинаковых оценок, а предикат ? множество X в фактор-множество , содержащее классы эквивалентных альтернатив;
, ? предикаты строгого порядка, обладающие свойствами транзитивности и антирефлексивности. Оценки, для которых , подаются на компаратор с предикатом , устанавливающим на отношение предшествования, а предикат устанавливает на отношение строгого предпочтения;
, ? предикаты нестрогого порядка, обладающие свойствами транзитивности и рефлексивности. Оценки, для которых , подаются на компаратор с предикатом , устанавливающий на отношение предшествования, а предикат устанавливает на отношение нестрогого предпочтения;
? субъективные оценки ЛПР альтернатив (, ).
Таким образом, если для альтернатив установлено [10, 17]:
* отношение эквивалентности из (2.5), то
;(2.10)
* отношение строгого предпочтения из (2.7), то
;(2.11)
* отношение нестрогого предпочтения из (2.9), то
,(2.12)
где ? функции полезности альтернатив xs, xi.
В основу работы предикатов (2.4)?(2.9) положены принципы теории полезности и правила рационального выбора (1.3).
Поскольку структура оператора F задана в виде обобщенной функции полезности альтернативы (1.11), то идентификация матрицы весовых коэффициентов , (предпочтений ЛПР) зависит от выбора ЛПР на множестве альтернатив поведения X, полученного в ходе пассивного или активного эксперимента. Если в процессе оценивания на множестве альтернатив установлено отношение (2.10), (2.11), или (2.12), то определение матрицы весовых коэффициентов А может быть сведено к решению системы линейных уравнений, или неравенств. Рассмотрим модели компараторной идентификации матрицы весовых коэффициентов , в зависимости от результатов оценивания ЛПР множества альтернатив Х.
2.2. Модель компараторной идентификации предпочтений ЛПР при установлении на множестве альтернатив поведения отношения строгого предпочтения
Пусть в ходе активного компараторного эксперимента ЛПР ранжирует по предпочтительности набор альтернатив поведения . Для этого ЛПР предъявляют множество альтернатив с предложением установить на нем отношение порядка. Психологические исследования показали, что решение этой задачи связано с парным сравнением всех возможных альтернатив. Это означает, что ЛПР раз предъявляют пары альтернатив и оно выбирает из них одну наиболее предпочтительную альтернативу, т.е. реализуется компаратор (2.6) и, соответственно, работает предикат (2.7), причем фактор-множество содержит только класс строго упорядоченных оценок и не содержит классов с равными оценками, а фактор-множество содержит только класс строгого предпочтения и не содержит классов эквивалентных альтернатив. Это случай наибольшей уверенности ЛПР в своих предпочтениях, так как ЛПР абсолютно уверено в своем выборе на каждом шаге оценивания. В результате, на множестве альтернатив поведения Х установлено отношение строгого предпочтения:
.(2.13)
Тогда, в соответствии с (2.11), получаем систему строгих неравенств:
.(2.14)
С учетом вида обобщенной функции полезности альтернативы (1.11), систему строгих неравенств (2.14) можно детализировать следующим образом:
................................................................................................................;
................................................................