РОЗДІЛ 2. ПІДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТІ СИСТЕМ ФАП І ФАПЧ З ПОЗИТИВНИМ ЗВОРОТНИМ ЗВ'ЯЗКОМ
Постановка задачі
На практиці при побудові системи ФАП необхідні висока точність і швидкодія. У
ряді робіт підвищення якості слідкування за несучою досягають використанням
розімкнених компенсаційних чи каналів спеціальних коригувальних пристроїв у
замкненому контурі управління.
Слідкування за фазою несучої і тактової частот за допомогою системи ФАПЧ
здійснюється, наприклад, у фазокогерентних системах далекого зв'язку. При
фільтрації фази несучої прагнуть забезпечити мінімальну фазову похибку. У класі
замкнених систем ФАПЧ через властиве їм протиріччя між точністю і стійкістю не
завжди вдається забезпечити необхідну якість роботи. Комбіновані системи ФАПЧ
вільні від зазначеного недоліку, однак у ряді випадків через неможливість
виміру задавальнити діяння виявляються нереалізовними. У зв'язку з цим
розглянемо нові структури системи ФАПЧ із фізично реалізовним позитивним
зворотним зв'язком.
У дійсному розділі розв’язується задача структурного синтезу систем ФАПЧ із
місцевим позитивним зворотним зв'язком. Пропонується методика синтезу систем
ФАПЧ з ЗЗ при наявності збурень. Досліджується стійкість автономних систем ФАПЧ
з ЗЗ і пропонується методика синтезу параметрів позитивного зворотного зв'язку
з умови підвищення точності в синхронних режимах.
2.1. Структурний синтез систем ФАПЧ із місцевим позитивним зворотним зв'язком
Функціональна схема замкненої системи ФАПЧ зображена на рис.2.1,а. На вхід
системи надходить сигнал від високостабільного еталонного генератора ЕГ у виді
періодичної чи квазіперіодичної функції, а з її виходу знімається сигнал
підстроювального генератора ПГ. Фазовий дискримінатор ФД є в системі датчиком
неузгодженості. Сигнал на виході ФД є функцією різниці фаз вхідного сигналу і
сигналу підстроюваного генератора. Фільтр нижніх частот ФНЧ у ланцюзі
управління призначений для фільтрації перешкод і корекції передавальної функції
системи, а елемент управління ЕУ – для зміни частоти (фази) ПГ.
Функціональній схемі ЗС ФАПЧ (рис.2.2,а) відповідає структурна схема
(рис.2.1,б), де К1(s), K2(s), K3(s) – передавальні функції ФД, ФНЧ, ЕУ і ПГ у
сукупності відповідно: a(s), b(s), Dj(s) – зображення фази вхідного і вихідного
сигналів від фазової похибки відповідно.
Передавальні функції розімкненої і замкненої системи (рис.2.1,б) визначаються
виразами:
Kp(s)=K1(s)K2(s)K3(s);
K3(s)=Kp(s)/[1+Kp(s)] = K1(s)K2(s)K3(s)/[1+K1(s)K2(s)K3(s)].
Враховуючи, що Ki(s)=Di(s)/Fi(s), i = 1, 2, 3, передавальні функції ЗС ФАПЧ
представимо у виді Kp0(s)=Dp0(s)/Fp0(s), де Dp0(s)=D1(s)D2(s)D3(s);
Fp0=F1(s)F2(s)F3(s)
і K30(s)=D30(s)/F30(s), (2.1)
де D30(s)=Dpo(s);
F30(s)=F1(s)F2(s)F3(s)+D1(s)D2(s)D3(s).
Розглянемо можливість досягнення абсолютної інваріантості в ЗС ФАПЧ. Для цього
запишемо передавальну функцію відносно похибки ЗС ФАПЧ:
K(s)=Dj(s)/a(s) = 1/[1 + Kp(s)], (2.2)
звідки
K(s) = D(s)/FDj(s), (2.3)
де
D(s) = F1(s)F2(s)F3(s); FDj0(s) = F30(s).
Умова інваріантості ЗС ФАПЧ щодо задавального діяння, (фази вхідного сигналу)
має вид DDj(Р)= 0 чи F1(s)F2(s)F3(s) = 0. Оскільки у фізично реалізовних ланках
поліноми Fi(s) № 0, i = 1, 2, 3, то в ЗС ФАПЧ абсолютна інваріантість
принципово недосяжна.
Структурна схема ФАПЧ з ЗЗ зображена на рис.2.1,в, де Кз.з.(s) – передатна
функція ланки ЗЗ, що охоплює ЕУ і ПГ. Запишемо рівняння елементів системи
(рис.2.1,в):
Dj(s)=a(s)- b(s); b(s) = K3(s)е(s); (2.4)
е(s)=K1(s)K2(s)Dj(s)+ Kз.з.(s)b(s).
Виключаючи із системи рівнянь (2.4) проміжні перемінні е(s) і b(s), одержуємо
рівняння системи ФАПЧ щодо похибки Dj(s):
(2.5)
З рівняння (2.5) визначимо передавальну функцію відносно похибки системи ФАПЧ:
(2.6)
З огляду на те, що , запишемо характеристичне рівняння ЗС ФАПЧ і ФАПЧ з ЗЗ.
Відповідно до вираження (2.1) характеристичне рівняння ЗС ФАПЧ має вид:
(2.7)
Для ЗС ФАПЧ із позитивним зворотним зв'язком:
(2.8)
Аналіз виразів (2.7) і (2.8) показує, що в порівнянні зі ЗС ФАПЧ у ФАПЧ із
позитивним зворотним зв'язком підвищується ступінь характеристичного рівняння.
Нехай m1, m2, m3, m4 - ступені поліномів F1(s), F2(s), F3(s) і Fз.з.(s), a n1,
n2, n3, n4 – ступені поліномів D1(s), D2(s), D3(s) і Dз.з(s) відповідно,
причому mi і ni, i = 1,4 (умова фізичної реалізуємості). Тоді ступінь
характеристичного рівняння (2.7) m1+ m2+ m3 менше, ніж ступінь
характеристичного рівняння (2.8) m1+ m2+ m3+ m4. Таким чином, введення ЗЗ
впливає на стійкість замкненого контуру ФАПЧ.
З виразу (2.6) умова інваріантості:
(2.9)
З якої одержимо вираз для Kз.з(s), що забезпечує рівність нулю фазової похибки:
(2.10)
Умова (2.10) фізично нереалізовна, оскільки ступінь полінома F3(s), рівна m3,
більше ступеня полінома D3(s), рівної n3. Однак при належному виборі Kз.з(s)
можна досягти істотного підвищення точності системи ФАПЧ в усталеному і
перехідному режимах.
Розглянемо вплив ЗЗ на стійкість системи і способи усунення цього впливу.
Аналіз знаменника передавальної функції (2.6) показує, що в порівнянні зі ЗС
ФАПЧ, у системі (рис.2.1,в) з'являється додатковий доданок – K3(s)Kз.з(s), що
впливає на стійкість системи ФАПЧ. Щоб виключити вплив ЗЗ на стійкість
замкненого контуру системи ФАПЧ, доданок з негативним знаком у знаменнику
виразу (2.6) дорівняємо до нуля, тобто K3(s)Kз.з(s)=0. У системі з позитивним
зворотним зв'язком цього можна досягти, якщо паралельно ланці з передавальною
функцією K2(s) включити коригувальну ланку з передавальною функцією Kk(s).
Структурна реалізація цього способу показана на рис.2.1,г. Рівняння елементів
системи для цього випадку мають вид:
- Київ+380960830922