РОЗДІЛ 2
Мінімаксні оцінки розв’язків лінійних алгебраЇчних рівнянь
У цьому розділі розглядаються мінімаксні задачі оцінювання і керування в
умовах невизначеності для лінійних алгебраїчних рівнянь. У параграфі 2.1
розглядаються мінімаксні задачі спостереження для лінійних алгебраїчних
рівнянь. У параграфі 2.2 розглядаються мінімаксні задачі спостереження для
лінійних алгебраїчних рівнянь при квадратичних обмеженнях. У параграфі 2.3
розглядаються апостеріорні мінімаксні оцінки для лінійних алгебраїчних рівнянь
.
2.1 Мінімаксні задачі спостереження для лінійних алгебраїчних рівнянь
Нехай є розв’язком лінійного алгебраїчного рівняння.
, (2.1.1)
де параметр із простору , - квадратна матриця, що має комплексні елементи і
така що , для всіх , - вектор із гільбертового простору над полем комплексних
чисел, - лінійний обмежений оператор при кожному , що діє із гільбертового
простору в простір , так що , де , функції із гільбертового простору .
Припустимо, що при деякому невідомому векторі спостерігається вектор-функція
вигляду
, (2.1.2)
де , - область із скінченовимірного простору , - матрична функція із
комплексними елементами, - реалізації випадкового поля, неперервного в
середньоквадратичному сенсі, причому припускається, що , кореляційна функція -
невідома, , , - вимірні за Лебегом функції і такі що
,
Припустимо також, що кореляційна функція належить деякій обмеженій множині -
гільбертового простору .
Введемо функціонали , та позначимо скорочено або , де функція із , вектор із .
Лінійною оцінкою величин та - назвемо вирази , де , , та - комплексні
величини.
Означення 2.1. Оцінки , що знаходяться з умови
називаються лінійними мінімаксними середньоквадратичними (ЛМСК), а величини -
мінімаксними похибками оцінювання.
Введемо далі вектор функції , , як розв’язки рівнянь
, (2.1.3)
, (2.1.4)
де , - спряжені до матриць та відповідно.
Твердження 2.1. Нехай множини
, (2.1.5)
де , , , непорожні, тоді має місце рівність
(2.1.6)
де
.
Доведення. Нехай , , є розв’язками рівнянь (2.1.3), (2.1.4). Так як
то очевидно, що якщо , то , звідси отримаємо рівність (2.1.6).
Наслідок 1. Нехай , , тоді
, (2.1.7)
при цьому оптимальне значення досягається при .
Наслідок 2. Нехай , - мінімізуюча послідовність, а - відповідна послідовність
оцінок, так що
.
Тоді має місце рівність
. (2.1.8)
Твердження 2.2. Нехай , , та , тоді існує ЛМСК оцінка.
Доведення. Легко бачити, що - опуклі замкнені множини в просторі . Зауважимо,
що функціонал
,
слабонапівнеперервний знизу, а значить слабонапівнеперервний знизу і
функціонал
. (2.1.9)
Крім того в силу оцінок , .
Тоді згідно відповідної теореми [1] існує точка, в якій досягається мінімум
функціонала на множині .
Нехай далі в рівнянні (2.1.1) доданок має вигляд
,
де та - вектори із гільбертових просторів над полем комплексних чисел та
відповідно, причому
де , , , функції із просторів та відповідно, причому ці функції такі, що
Припустимо, що при деяких наперед невідомих векторах , та реалізації
випадкового поля спостерігається вектор-функція виду (2.1.2), де - розв’язок
рівняння
, (2.1.10)
та вектор належить обмеженій множині із простору .
Наша задача буде полягати в тому щоб знайти ЛМСК оцінки для функціоналів
де функція із , та вектори із та , відповідно.
Введемо множини , , де
, (2.1.11)
, (2.1.12)
а та - розв’язки рівнянь (2.1.3), (2.1.4) при .
Твердження 2.3. Нехай множини , непорожні. Тоді має місце рівність
(2.1.13)
де
, (2.1.14)
. (2.1.15)
Аналогічно тому, як це зроблено при доведенні Твердження 2.1 можна показати, що
твердження має місце.
Твердження 2.4. Нехай , та , тоді існують ЛМСК оцінки для функціоналів та .
Наведемо далі одну із умов непорожності множин та . Нехай для прикладу це буде
множина . Зауважимо, що має місце рівність
,
де - лінійний неперервний оператор при кожному , що діє із простору в простір і
норма якого інтегрована із квадратом, тоді має місце
Твердження 2.5. Нехай у оператора існує обмежений обернений оператор. Тоді
множина - непорожня, для довільного із .
Доведення. Легко перевірити, що функція
.
для довільної функції із простору - буде розв’язком рівняння
Для прикладу розглянемо випадок коли . Тоді множина буде мати вигляд (при )
і відповідно
.
Розв’язком рівняння буде функція
Твердження 2.6. Нехай - обмежена замкнена опукла множина, центрально симетрична
відносно деякого вектора . Припустимо також, що існують ЛМСК оцінки. Тоді
, (2.1.16)
, (2.1.17)
де та - розв’язки рівнянь (2.1.3), (2.1.4) при .
При цьому та належать множинам , , де
,.
Доведення. Так як , то
, де , ,
, ,
З центральної симетричності множини маємо
, ,
значить
Із цих оцінок випливають рівності (2.1.14), (2.1.16). Аналогічно доводиться
справедливість рівностей для , (2.1.15), (2.1.17).
2.2 Мінімаксні задачі спостереження для лінійних алгебраїчних рівнянь при
квадратичних обмеженнях
Нехай розв’язок рівняння (2.1.1). Припустимо, що спостерігається
комплекснозначна функція ,
, (2.2.1)
де - обмежена область із , - відомі матричні функції з, - розв’язок рівняння
(2.1.1) із , - реалізації випадкового, неперервного в середньоквадратичному
полі, з нульовим математичним сподіванням
, , (2.2.2)
Будемо вважати що інформація відносно невідома, а також другі моменти поля не
визначені точно та задовольняють умову
, (2.2.3)
де - неперервні функції на множині і не перетворюються там в нуль, а - функція
із .
- Київ+380960830922