Дисипативне нагрівання текучого середовища в каналі

РОЗДІЛ 2
ДИСИПАТИВНЕ НАГРІВАННЯ В АДІАБАТНОМУ КАНАЛІ
2.1. Рівняння збереження і крайові умови
Нагрівальні канали мають поперечний переріз плоскої або круглої форми. При
дослідженні руху і тепломасопереносу текучого середовища (рідина, газ) доцільно
використовувати диференціальні рівняння збереження кількості руху, маси і
енергії в проекціях на вісі прямокутної Оxyz або циліндричної Orjz систем
координат [32].
Позначивши швидкості , , , рівняння збереження в прямокутній системі координат
запишемо так:
– рівняння кількості руху
,
, (2.1)
– рівняння нерозривності
; (2.2)
– рівняння енергії
(2.3)
де напруги
; ;
; ;
; ;
дисипативна функція
.
Позначивши швидкості , , , рівняння збереження в циліндричній системі
координат запишемо так:
– рівняння кількості руху
,
, (2.4)
– рівняння нерозривності
; (2.5)
– рівняння енергії
(2.6)
де напруги
; ;
; ;
; ;
дисипативна функція
В напруги входить молекулярна динамічна в’язкість m, а в рівняння енергії –
молекулярна теплопровідність l. Тому, рівняння справедливі для так званого
ламінарного руху. Для вихрового потоку в’язкість і теплопровідність
визначаються як ефективні mт і lт і в загальному випадку залежать від
координат. Значення mт і lт будемо визначати на основі відомих
експериментальних даних.
Рівняння руху, нерозривності і енергії доповнюються залежністю густини
текучого середовища від його параметрів. Для газу, який є стисливим
середовищем, найбільш простим є рівняння стану в вигляді
,
де R – газова постійна.
Для нестисливого середовища залежність густини від параметрів текучого
середовища незначна і при роботі в вузьких діапазонах температури і тиску можна
прийняти r=const.
Рівняння спрощуються для стаціонарного руху при . Подальше спрощення рівнянь
пов’язане з припущеннями про одновимірний рух, який характеризується,
наприклад, швидкостями U і V в прямокутних координатах, а для вісесиметричного
руху в циліндричних координатах. Але і після цього рівняння залишаються
складними і можуть бути проінтегровані лише чисельно.
Для інтегрування рівнянь необхідно задати крайові умови. Загальноприйнятими є
умови прилипання і непроникнення середовища: дотична та перпендикулярна до
стінки швидкості рівні нулю. Рівняння енергії інтегрується в залежності від
того, яким є канал: теплоізольований, має визначені температуру або тепловий
потік через стінку.
Рівняння (2.1)-(2.6) спрощуються для дисипативного нагрівання текучого
середовища внаслідок незначного підвищення температури при протіканні в каналі,
що дозволяє вважати в’язкість і теплопровідність незалежними від координат і
винести їх з-під знаку диференціювання. З цієї ж причини можна вважити густину
постійною в каналі і для стисливих середовищ. Циркуляційний рух супроводжується
підвищенням середньої температури середовища за період нагрівання, тому зміну
густини, в’язкості і теплопровідності доцільно враховувати в залежності від
середньої температури для кожного наступного циклу.
Закономірності дисипативного нагрівання можна визначити, якщо вважати
нагрівальний канал адіабатним , тобто все тепло, яке генерується, залишається в
текучому середовищі.
2.2. Потік з малими числами Рейнольдса
2.2.1. Плоский канал
Рівняння кількості руху, неперервності і енергії (2.1)-(2.3) стаціонарного
руху текучого середовища в плоскому каналі (рис.2.1) мають вигляд:
(2.7)
; (2.8)
; (2.9)
; ;
; ;
; ;
При Re(2.8) . Оскільки швидкість U не залежить від z, то , txx=tzz=0, , і рівняння
(2.7)-(2.8) спрощуються так:
;
; (2.10)
.
Перше рівняння визначає розподіл гідростатичного тиску по висоті каналу. При
малій висоті можна вважати, що тиск по висоті не змінюється. Це дозволяє
вважати для дисипативного нагрівання густину r також незалежною від х і останнє
рівняння записати U=U(x).
Друге рівняння запишемо так
, (2.11)
Граничні умови
. (2.12)
Після інтегрування маємо параболічний закон розподілу швидкості
, (2.13)
де максимальна швидкість , а середня швидкість .
Аналогічний розв’язок для закону швидкості в круглій трубі відомий як закон
Хагена-Пуазейля.
Рівняння енергії (2.9) приймає вигляд
(2.14).
з граничними умовами
(2.15)
Введемо безрозмірні величини
, , ,, , , ,
, .
Перепишемо рівняння енергії в безрозмірному вигляді
, (2.16)
де , .
Для нестисливого середовища в рівнянні енергії відсутня складова з, яка
визначає роботу розширення. Таким чином, це рівняння має вигляд
. (2.17)
Граничні умови в безрозмірному вигляді
(2.18)
Середня температура в поперечному перерізі
. (2.19)
При відомих середніх перепадах температури і тиску в каналі визначаємо теплову
потужність дисипативного нагрівання
, (2.20)
де об’ємна витрата води
,
а, b – відповідно ширина і напіввисота каналу.
Потужність на переміщення текучого середовища
, (2.21)
де перепад тиску
(2.22)
ККД дисипативного нагрівання текучого середовища в каналі
. (2.23)
Для числового розв’язку рівняння енергії (2.16) запишемо, опускаючи рисочки,
його різницевий аналог. Розрахункову область покриємо сіткою (рис.2.2) з
кроками h і l. Похідні в дифузійній частині апроксимуємо центральними
різницями, а в конвективному доданку – за схемою "проти потоку" [33]:
(2.24)
де N, M –кількість вузлів по вісям x і z.
Швидкість , а градієнт швидкості , де . Градієнт тиску .
Граничні умови
(2.25)
Порядок апроксимації рівняння енергії O(h)+O(h2)+O(l2), а граничних умов O(h),
O(l).
Виразивши з рівняння (2.24) маємо
, (2.26)
де коефіцієнти перед температурами в вузлових точках
(2.27)
Для числового розв’язку рівн