РАЗДЕЛ 2
Математическое моделирование
магнитных систем датчиков
Приведены теоретические исследования полей в магнитных системах (МС) ДСВ.
Математическая модель поля в МС представляет собой интегральные уравнения
Фредгольма 1-го и 2-го рода. При решении уравнения используется
модифицированный метод квадратур.
2.1. Математические модели магнитного поля МС
В качестве математических моделей магнитных полей в рабочей области датчиков
предполагается использовать уравнения Фредгольма 1-го и 2-го родов. Это
позволит произвести сравнительный анализ их эффективности, под которой
понимается машинное время и точность вычислений. После анализа производятся
численные эксперименты на выбранной модели, которые являются планируемыми и
которые позволят построить упрощенную модель формирования информационных
сигналов в магниточувствительных элементах.
При построении моделей принимаются следующие допущения:
вектор намагниченности постоянен во всем объеме ПМ;
магнитный материал ЗК не насыщен и его проницаемость равна , а поверхность ЗК
считается эквипотенциальной.
Ниже рассматривается математическая модель магнитного поля на основе уравнения
Фредгольма 1-го рода.
В линейной изотропной среде потенциал магнитного поля эквипотенциальной
поверхности с распределенными зарядами простого слоя равен [22]:
, (2.1)
где Р – точка источника; Q – точка наблюдения (рис. 2.1); – поверхностная
плотность магнитных зарядов простого слоя. Считается, что
.
Из теории потенциала известно [27] , что функция потенциала непрерывна при
переходе точки и на эквипотенциальную поверхность S , тогда из (2.1) следует
интегральное уравнение
, (2.2)
здесь А - интегральный оператор, равный
.
Для плоскопараллельного поля (2.2) запишется так
(2.3)
где оператор А равен
,
– линейная плотность магнитных зарядов.
Рис. 2.1. К расчету поля решения уравнения Фредгольма 1-го рода
Уравнения (2.2) и (2.3) являются линейными интегральными уравнениями Фредгольма
1-го рода.
Так как в МС присутствует ПМ, который является источником магнитного поля с
известным распределением плотности магнитных зарядов, то (2.2) запишется так:
(2.4)
здесь – потенциал магнитного поля, создаваемый постоянным магнитом.
Поскольку потенциал поверхности ЗК не известен, используется метод,
предложенный в [22] . Выбирается одно уравнение, соответствующее точке
наблюдения . Из всех уравнений, записанных для поверхности ЗК, вычитается
почленно уравнение, соответствующее точке . Тогда значение потенциала ЗК из
(2.4) исключается. На место уравнения для ставится условие о суммарном заряде
на поверхности ЗК
; (2.5)
для варианта ПМ2 и варианта ПМ1.
Рис. 2.2. Геометрическая модель МС ДСВ
Поскольку уравнения (2.2) и (2.3) являются сингулярными, при их численном
решении применяется метод модифицированных квадратур, суть которого сводится к
следующему. Поверхность ЗК и ПМ делится на N и M прямоугольных элементарных
площадок , предполагается что на площадке =const, . Тогда (2.5) превращаются в
системы линейных уравнений
. (2.6)
Уравнение для j-й точки , лежащей в центре площадки , записывается с учетом
того, что интеграл по поверхности S разбивается на интеграл по поверхности ,
который аппроксимируется методом прямоугольников, и на интеграл по поверхности
, который берется в аналитической форме
. (2.7)
Если стороны элементарной прямоугольной площадки , , второй интеграл в правой
части (2.6) равен:
(2.8)
.
Таким образом, элементы матрицы [А] равны:
(2.9)
;
.
Для плоскопараллельного поля:
; (2.10)
,
здесь – длина элементарного отрезка контура ЗК.
Математическая модель, основанная на уравнении Фредгольма II-го рода, строится
при тех же допущениях, что и вышеописанная.
В качестве исходного принимается интегральное уравнение Фредгольма II-го рода
относительно нормальной составляющей напряженности магнитного поля на
поверхности ЗК [36, 28]:
,
здесь , – нормальные составляющие векторов напряженности на поверхности ЗК и
ПМ; .
Поверхности ЗК и ПМ, как и в ранее рассмотренном варианте, рассматриваются как
суммы прямоугольных элементов. В каждом элементе и
.
Для поверхности 1, 3 ; для поверхности 2 . Следовательно, в первом приближении
для i-ой ЭП можно записать:
,
где
;
;
,
где
;
.
Интегральное уравнение сводится к системе алгебраических линейных уравнений
,
здесь
; .
При элементы квадратной матрицы равны
– для ЭП частей 1 и 3;
– для ЭП части 2;
при
поскольку интеграл
. (2.11)
Если ЭП i и j принадлежат одному и тому же участку, то для них (2.11) также
обращается в ноль.
Так как МС может в качестве магниточувствительных элементов содержать как ФМЭ и
индукционные датчики, так и гальваномагнитные преобразователи, которые не
содержат ферромагнитных сердечников, рассмотрим вопрос определения магнитной
индукции в геометрических центрах гальваномагнитных преобразователей. Индукция
в центре преобразователя определяется в следующем виде:
,
здесь , – плотности поверхностных зарядов на поверхности ЗК и ПМ; , – векторы,
проведенные из точек на поверхности ЗК и ПМ в точку наблюдения; n – размерность
пространства.
Расчет магнитной индукции в геометрическом центре гальваномагнитного
преобразователя является конечной целью расчета поля.
Если в качестве магниточувствительных элементов используется ФМЭ или
индукционные с ферромагнитным сердечником, то определяется магнитный поток в
сердечнике, по которому можно определить индукцию и напряженность поля.
Согласно теореме о взаимности [37] магнитный поток в ферромагнитном сердечнике
равен:
; ; , (2.12)
где – вектор напряженности магнитного поля, создаваемого сердечником
преобразователя, на котором имеется катушка с ч
- Київ+380960830922