ГЛАВА 2
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА СИНТЕЗА ОДНОМОДОВЫХ
ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКОН НА ФИКСИРОВАННОЙ ЧАСТОТЕ
В данной главе рассматриваются общие вопросы постановки задач синтеза
волоконных световодов по заданным на фиксированной частоте различным значениям
их передаточных характеристик. Проводится дальнейшее развитие метода синтеза,
создана его модификация для случая круглых волоконных световодов, которая
основывается на решении обратной задачи рассеяния нерелятивистской квантовой
механики с использованием математического аппарата Гельфанда-Левитана-Марченко
[55].
Проводится аналогия между данными задачи рассеяния и электродинамическими
характеристиками световода, а также уравнениями обратной задачи рассеяния и
уравнениями, описывающими волновые процессы в градиентных волоконных
световодах. Приводится методика построения спектральной функции для задач
синтеза. Выводятся основные дифференциальные и интегральные уравнения синтеза.
Приводится алгоритм решения задач синтеза.
2.1. Определение метода синтеза
Метод синтеза на фиксированной частоте заключается в определении профиля
показателя преломления в поперечном сечении волокна и функции распределения
поля распространяющейся в нем на этой частоте моды, посредством использования
распределения полей мод, распространяющихся на той же частоте, в исходном
световоде с заданным профилем показателя преломления.
Поскольку существует аналогия между данными рассеяния квантовой механики и
характеристиками оптических волокон, для решения задач синтеза используется
математический аппарат решения обратной задачи рассеяния [56]. В соответствии с
теорией [56], определяются спектральные функции для задач о распространении
волн в синтезированном и исходном световодах. Используя функции распределения
полей мод, распространяющихся на заданной частоте в исходном световоде, с
помощью интеграла Стилтьеса определяется ядро основного интегрального уравнения
синтеза. Интегрирующей функцией в интеграле Стилтьеса является разность
спектральных функций задач о распространении мод в синтезируемом и исходном
световодах. Из решения основного интегрального уравнения синтеза, определяется
закон изменения показателя преломления в поперечном сечении синтезированного
волокна.
2.2. Основное дифференциальное уравнение синтеза
Распространение электромагнитных волн в световодах описывается системой
уравнений Максвелла
(2.1)
где
E – вектор напряженности электрического поля;
D – вектор электрической индукции;
H – вектор напряженности магнитного поля;
В – вектор магнитной индукции;
J – вектор плотности электрического тока;
r – суммарная плотность объемного заряда в исследуемом объеме;
С – оператор Гамильтона.
Уравнения (2.1) дополняются уравнениями состояния среды
, (2.2)
где величины e и m – диэлектрическая и магнитная проницаемость среды,
соответственно, физические характеристики материала, из которого изготовлен
световод. Если e и m не зависят от координат, то световод называют однородным,
в противном случае световод будет неоднородным. Если e и m скаляры, то световод
называют изотропным, в анизотропных световодах, по крайней мере, одна из
величин e или m – тензор. В общем случае, если материал анизотропный и
неоднородный, e и m – тензоры второго ранга [57].
Сделаем предположение, что материал, из которого изготовлен рассматриваемый
световод, является изотропным и неоднородным с магнитной проницаемостью m = m0,
равной магнитной проницаемости свободного пространства и диэлектрической
проницаемостью e(r), которая является непрерывной функцией поперечной
координаты. Кроме того, будем считать, что световод является однородным вдоль
направления распространения электромагнитных волн.
Из уравнений Максвелла (2.1), применив операцию «ротор» к обеим частям и
учитывая условия (2.2), получим дифференциальные волновые уравнения для
векторов амплитуды электрического и магнитного полей E и H.
(2.3)
Будем рассматривать задачу для монохроматических полей, изменяющихся во времени
по закону exp(iwt), где w – циклическая частота. Кроме того, поскольку J = sE,
a проводимость среды, s = 0. В этом случае уравнения (2.3) можно представить в
виде
(2.4)
где
k2 = w2e0m0 – волновое число в свободном пространстве;
– относительная диэлектрическая проницаемость.
Граничные условия в задачах о распространении волн в таких световодах
определяются из требования затухания поля на бесконечности и ограниченности его
в нуле (на оси световода). Требование затухания поля на бесконечности приводит
к направленным модам. Известно, что поле направленных мод всегда ограниченно
направляющей структурой. Если пространство заполнено диэлектрическим материалом
с различными показателями преломления (диэлектрической проницаемостью), то
условия, которым удовлетворяют векторы E и H на границе раздела этих сред,
вытекают из уравнений Максвелла и имеют вид
(Ht)1 = (Ht)2, (Et)1 = (Et)2 , (2.5)
(Hn)1 = (Hn)2, (e1En)1 = (e2En)2 , (2.6)
где
t – индекс отвечает касательным составляющим к границе раздела двух сред;
n – индекс, отвечающий нормальным составляющим к границе раздела двух сред;
e1 и e2 – значения диэлектрических проницаемостей этих сред соответственно.
Физическое содержание соотношений (2.5) состоит в том, что касательные
составляющие полей E и H непрерывны на границе между двумя средами. Соотношения
(2.6) означают, что компоненты векторов магнитной напряженности и
электрического смещения, нормальные по отношению к границе двух сред, также
непрерывны. Эти предельные условия вместе с условиями на бесконечности
используются для выделения из решений уравнений Максвелла тех, которые отвечают
конкретной физиче
- Київ+380960830922