РАЗДЕЛ 2.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ НА ПЛОСКОСТИ МЕТОДОМ
ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.
§2.1 Определение функций и вычисление их производных .
Будем рассматривать двумерную динамическую систему с импульсным воздействием
такую, что
Топология на фазовом пространстве определяется стандартной евклидовой
метрикой.
М является одномерным подмногообразием в гладкости класса , где .
А продолжимо до отображения фазового пространства в себя, , где - некоторая
окрестность М, где .
В дальнейшем под мы будем понимать ограничение соответствующей производной от
на множестве М.
Отображение Н определяется функцией , которая является решением задачи Коши
и имеет гладкость класса по начальным значениям где ;
Исследование динамической системы с помощью метода точечных отображений
сводится к исследованию разностного уравнения .
Однако отображение F, отображающее одномерное множество А(М) в себя (а также и
отображения А и L отображающие, соответственно, М в А(М) и А(М) в М) плохо
приспособлены для непосредственного использования известных результатов теории
одномерных разностных уравнений [ 84 ].
Поэтому вместо рассмотрения отображений F, А, L необходимо временно ввести
некоторые вспомогательные отображения, соответствующие последним, и которые,
естественно, определить, исходя из некоторых параметрических уравнений
начального и конечного множеств скачка.
Важным моментом является возможность поднятия отображения F до отображения
прямой в прямую. Это дает возможность использовать известные результаты из
теории отображений прямой в прямую [41,84]. Именно этот случай и будет
рассматриваться в дальнейшем.
Пусть L, A, F, соответственно, функция соответствия, оператор скачка, и функция
последования для динамической системы .
Пусть отображение F можно поднять до отображения прямой в прямую.
- параметрическое уравнение начального множества скачков системы;
- параметрическое уравнение конечного множества скачков системы.
Причем будем предполагать, что , , ,
Определение 2.1.1. Функции определим из условия коммутативности диаграмм
при этом , , и определим функцию соотношением .
Назовем функции , соответственно, функцией соответствия, функцией скачка и
функцией последования, ассоциированными с заданными параметризациями начального
и конечного множеств скачка.
Из качественной теории гладких одномерных отображений прямой в прямую
[31,41,84] следует, что, для качественного исследования функций необходимо, в
первую очередь, вычислить их первую и вторую производные, а также их шварцианы
( для последних понадобится вычисление и третьей производной).
Условие гладкости класса по начальным значениям для решения задачи Коши, а
также условия на множество М гарантируют существование k-х производных от
функций .
Вычисления k-х производных нам необходимо сделать в терминах понятий,
касающихся рассматриваемой динамической системы с импульсным воздействием.
Первая производная от функции позволяет решать вопросы, связанные с
устойчивостью
n-импульсных циклов, вторая производная необходима для решения вопросов теории
бифуркаций, а шварцианы позволяют давать оценки сверху для числа минимальных
притягивающих множеств исследуемой системы.
Следующая теорема дает выражения для первых трех производных от в терминах
понятий, касающихся рассматриваемой разрывной динамической системы.
Теорема 2.1.1. Пусть дана двумерная динамическая система с импульсным
воздействием такая, что:
- параметрическое уравнение ее конечного множества скачков,
- параметрическое уравнение ее начального множества скачков,
, где - некоторая окрестность М,
, ,
- общий интеграл системы дифференциальных уравнений задающих
, где - некоторая окрестность А(М),
Тогда
если , то при
при
если , то
если , то
где
; ;
; ;
Доказательство.
1) Докажем формулы для производных от функции .
По определению интегральная кривая системы дифференциальных уравнений,
определяющая исследуемую систему, проходит через точки и . Таким образом
справедливо тождество . Дифференцируя последнее соотношение по получим . Отсюда
с учетом введенных обозначений, после преобразований получаем:
. ( 2.1.1 )
Из определений функций и с учетом ( 2.1.1 ) находим
; ; ;
отсюда ( 2.1.2 )
Дифференцируя формулу (2.1.2 ) по с учетом (2.1.1), после преобразований
получим
( 2.1.3 )
2) Докажем формулы для производных от функции .
По определению . Дифференцируя обе части этого равенства по , получим , отсюда
.
Таким образом .
Знак зависит от изменения или сохранения ориентации оператором скачка, т.е.
знаком . Таким образом, с учетом того, что , получаем
при условии ,
или с учетом обозначений ( 2.1.4 )
при условии
Дифференцируя формулу ( 2.1.4 ) по , получим
. ( 2.1.5 )
Продифференцируем по с учетом введенных обозначений:
( 2.1.6 )
( 2.1.7 )
Подставляя ( 2.1.6 ) и ( 2.1.7 ) в ( 2.1.5 ), получим
( 2.1.8 )
Дифференцируя формулу ( 2.1.8 ) по , получим
( 2.1.9 )
Продифференцируем по с учетом введенных обозначений
, ( 2.1.10 )
. ( 2.1.11 )
Подставляя ( 2.1.10 ) и ( 2.1.11 ) в ( 2.1.9 ), после преобразований получим
3) Найдем формулы для производных от функции :
Поскольку
,
то, с учетом введенных обозначений и полученных выше результатов получим
доказываемые формулы для производных от .
Введенные в начале параграфа параметризации, являются вынужденной мерой и от их
выбора качественные характеристики исследуемой разрывной динамической системы
не зависят. Для того, чтобы избавится от произвола выбора параметризаций,
необходимо перейти к рассмотрению случая, когда уравнения начального и
конечного множеств скачков заданы не