РОЗДІЛ II
Математична модель поширення МАЛИХ ПРУЖНИХ ЗБУРЕНЬ У деформованому ТІЛІ
У механіці суцільного середовища використовується декілька адекватних способів
опису деформації континууму – матеріальний, відліковий, просторовий тощо [38].
При матеріальному описі рух континууму вважається заданим, якщо відома
траєкторія кожної матеріальної точки. У відліковому описі матеріальні точки
ототожнюються з місцями, які вони займали у відліковій конфігурації. Для цього
кожній точці приписується деякий незмінний у процесі руху радіус–вектор, і
деформація визначається відображенням відлікової конфігурації на актуальну. При
просторовому описі увага зосереджується на актуальній конфігурації, тобто на
області простору, яку займає тіло у даний момент часу, і математична модель
формулюється стосовно параметрів, які розглядаються як функції точок простору
цієї конфігурації.
Усі конфігурації тіла, що відповідають деякому рухові, будуть евклідовими, якщо
за відлікову вибрана евклідова конфігурація, а функція опису руху є достатньо
гладкою і не приводить до появи пластичних деформацій, розривів тощо. У цьому
випадку можна ввести єдину систему координат для всіх конфігурацій, наприклад,
декартову.
Опис руху, де для індивідуалізації матеріальних точок тіла використовуються
декартові координати місць, які вони займали у відліковій конфігурації,
називається лагранжевим описом руху суцільного середовища. Він є частковим
випадком відлікового опису. Опис руху, згідно з яким мітками матеріальних точок
є декартові координати місць, які вони займають в актуальній конфігурації,
називається ейлеровим описом. Останній є частковим випадком просторового опису
руху.
Усі згадані способи опису руху є в математичному сенсі еквівалентними. Разом із
тим вибір конкретного способу впливає на множину визначальних
параметрів напружено–деформованого стану, стосовно яких формуються рівняння
моделі. Так, наприклад, при відліковому описі параметром, що визначає
деформований стан, є тензор деформацій Коші – Гріна, а напружений стан
задається енергетичним тензором напружень [21]. Ці тензори розглядаються в
математичній моделі як функції координат, які матеріальні точки займали у
відліковій конфігурації, і подаються своїми компонентами стосовно базиса цієї
конфігурації. Цьому способу опису надають перевагу в нелінійній механіці
деформівного твердого тіла, позаяк він приводить до крайових задач, у яких
граничні умови визначаються на поверхнях, які відомі апріорі і не змінюються в
часі. Розв’язавши відповідну крайову задачу, знаходимо за такого підходу
компоненти тензорів деформацій та напружень як функції координат, означених в
області простору, яку тіло займало у недеформованому стані.
При просторовому описі параметрами деформованого стану можуть служити тензори
деформацій Альманзі чи Фінгера, а напружений стан задається тензором напружень
Коші [21]. Компоненти цих тензорів розглядаються в математичній моделі як
функції координат, які матеріальні точки займали в актуальній конфігурації.
Задачі неруйнівного визначення залишкових напружень зводяться до встановлення
розподілів компонент тензора напружень як функцій місць, які матеріальні точки
тіла займають в початковій конфігурації , що є, як правило, відомою, і яка
досягається тілом під впливом навантажень, зумовлені якими напруження та
деформації і підлягають визначенню. Більше того, параметри зовнішніх пружних
збурень, які вводяться в тіло з метою отримання інформації про початковий
напружено–деформований стан, визначають стосовно цієї ж (а не відлікової)
конфігурації. Тож метою цього розділу була побудова математичної моделі
поширення малих пружних збурень у неоднорідно деформованому твердому тілі,
параметри напружено–деформованого стану якої визначаються стосовно початкової
напруженої конфігурації .
Основні результати розділу подані у статті [20].
2.1. Опис деформації континууму стосовно відлікової та актуальної конфігурацій
Розглянемо тверде тіло , яке перебуває у стані пружної рівноваги за фіксованої
температури . Деформований стан тіла визначатимемо стосовно деякої ненапруженої
відлікової конфігурації . Нехай – радіус–вектор, який задає положення (місця)
матеріальних точок у відліковій конфігурації. Деформація тіла при переході з
відлікової в актуальну конфігурацію визначається деяким відображенням [21]
, , (2.1)
де – радіус–вектор місця матеріальної точки в актуальній конфігурації. Надалі
вважатимемо відображення (2.1) взаємно–однозначним та достатню кількість разів
неперервно–диференційованим. При цьому існує обернене відображення : , таке що
, . (2.2)
Матеріальні координати можна вводити у відліковій або актуальній конфігураціях,
задавши вектор–функції виду
(2.3)
або , (2.4)
які взаємно–однозначно відображають множини або в області або відповідно. У
декартовій базі матеріальні координати задаються трійками функцій або , такими
що
, ,
де та – компоненти радіус–векторів та .
Якщо вморожена система введена у відліковій конфігурації , то, на підставі
(2.1), деформація континууму в матеріальних координатах визначиться таким
чином
, . (2.5)
Якщо ж увести матеріальні координати в актуальній конфігурації , то, згідно
співвідношенню (2.2), закон деформації стосовно матеріальних координат матиме
вигляд
, . (2.6)
Тут буквами та у правих частинах рівностей (2.5), (2.6) позначені композиції
функцій та .
Функції (2.3), (2.4) та відображення (2.5), (2.6) визначають локальні бази та
введеної матеріальної (супровідної, вмороженої) системи координат у відліковій
та актуальній конфігураціях відповідно. Зокрема, якщо ввести координатну
систему у відліковій конфігурації, то матимемо
, ,
- Київ+380960830922