РОЗДІЛ II
ФОРМУВАННЯ ВІЗЕРУНКІВ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ
Конструктивні ВІДОБРАЖЕННЯ НА СФЕРУ
Конструктивними будемо називати відображення, що встановлюють конструктивний
зв’язок між відповідними точками. В межах цієї роботи такий зв’язок
здійснюється згинанням ліній чи поверхонь або проекціюванням.
Ізометричним відображенням, інваріантом якого є метрика, є згинання. Оскільки
в цьому дослідженні йдеться про відображення площини на поверхню, єдиним класом
поверхонь, на які площина відображається ізометрично, є розгортні поверхні.
Конформне відображення, інваріантом якого є кути між лініями, здійснюється
стереографічним проекціюванням точок площини на сферу.
Еквідистантне відображення зберігає відстані уздовж напрямків координатних
ліній у полярній системі на сфері. Воно здійснюється згинанням меридіана сфери
на полярний промінь площини у площинах пучка з віссю, що проходить через полюси
сфери.
Геодезичне відображення площини на сферу, у якому прямим на площині
відповідають великі кола (геодезичні) на сфері, також здійснюється
проекціюванням площини на сферу. Крім самостійного значення відображення
площини на сферу, воно відіграє роль посередника у відображенні площини на
поверхню з використанням сферичного відображення поверхні.
Геометричні питання формоутворення на площині орнаментів, візерунків, розписів
з наголосом на їх зміст розглядались в роботах [48, 55, 56, 58, 59, 61, 62, 63,
67, 82, 83].
Окремим способам нанесення орнаментів на криволінійні поверхні, яким
притаманна надзвичайна трудомісткість, присвячено роботи [54, 65, 67].
В цій дисертації не йдеться про зміст зображень (орнаменту, візерунка,
розпису). Зображення розглядається як абстрактний за змістом графічний об’єкт,
що подається на площині упорядкованим точковим каркасом і топологією з’єднання
суміжних точок, інваріантною у відображеннях. Літери та цифри, як графічні
елементи текстової інформації, також відповідають означенню зображення і
подаються у такий же спосіб.
Підкреслимо, що при відображенні графічного об’єкта з площини на поверхню його
прямолінійні елементи у загальному випадку скривляються, а при відображенні з
однієї криволінійної поверхні на іншу кривина елементів змінюється. Тому
подавати на площині відрізок прямої його кінцями за умов його подальшого
відображення на криволінійну поверхню не відповідало б сутності проблеми.
Звідси рекомендація подавати точковий каркас графічного об’єкта з якомога
рівномірною щільністю, включаючи до нього особливі точки. Чим щільніше точковий
каркас зображення на площині, тим природніше буде сприйматись його відображення
на криволінійній поверхні.
2.1. Формування графічного об’єкта на площині
Пропонується складний графічний об’єкт формувати із схожих за формою
фрагментів, які є результатом застосування деякої суперпозиції перетворень
обраного базового елемента. Такий принцип формування зображення відповідає
умовам формоутворення орнаментів, візерунків, розписів.
Під суперпозицією перетворень будемо розуміти послідовне застосування двох або
більшої кількості елементарних перетворень на площині, як то: паралельного
переносу, повороту, симетрії відносно прямої та точки, подібності (див. табл.
1.1).
Оберемо базовий елемент у вигляді, представленому на рис. 2.1. Зображення
складається виключно із відрізків прямих. Координати точок, що складають
точковий каркас зображення, представимо у вигляді таблиці з наскрізною
нумерацією вузлів. Крім координат точок в цю таблицю також занесемо інформацію
про сполучення суміжних точок: якщо із точки поточного положення в чергову
точку зображення треба прописати лінію, коефіцієнт неперервності приймає
значення 1, якщо ні, йому надають значення 0.
Оскільки відрізок ОВ буде відігравати не тільки з’єднувальну роль між точками
О і В, а також приєднувальну роль приєднання створеного підоб’єкта зображення
до об’єкта у цілому, його довжину доцільно представити змінною, тобто,
координату слід вважати параметром. В первинну таблицю вхідних даних заносимо
координати точок, позначених на рис. 2.1 (табл. 2.1).
Рис. 2.1. Базовий еле-
мент зображення Таблиця 2.1
Координати опорних точок, мм
G
10
10
20
30
30
38
36
42
34
20
Як було вже відзначено, за умовами поставленої задачі координат опорних точок
для її розв’язання недостатньо: виникає необхідність подання проміжних точок,
що належать зображенню. Формування масиву координат з врахуванням опорних і
проміжних точок можна автоматизувати введенням програми поділу відрізка на
рівні частини (див. Додаток А). Наприклад, для відрізка OC
, (2.1)
де - порядковий номер точки у наскрізній нумерації точок у масиві, включаючи
проміжні, - номер опорної точки, що була врахована останньою як кінцева точка
відрізка, - кількість частин поділу відрізка - координати опорної точки О, -
координати опорної точки С (див. табл. 2.1).
Щоб забезпечити наближену рівномірність розташування проміжних точок на
зображенні, можна подати бажану довжину ланки між суміжними точками зображення
і визначити кількість частин поділу відрізка за формулою
. (2.2)
Результат обчислювання слід округлити. Щоб округлення не призвело до втрати
кінцевої опорної точки, необхідно скоректувати з тим, щоб при вирази давали б
координати кінцевої точки. Це означає, що відстань між суміжними точками буде
дорівнювати не попередньо прийнятому значенню, а значенню
яке для відрізків різної довжини може бути різним, але різниця не буде
перевищувати попередньо прийняте значення . Процедуру VID представлен
- Київ+380960830922