РОЗДІЛ 2
МОДЕЛЮВАННЯ СТРУКТУР СПЕЧЕНИХ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ МАТЕРІАЛІВ
2.1. Моделі застосовані у даній роботі
2.1.1. Модель плоскої дифузійної системи у потрійні суміші
Найпростішою з геометричної точки зору і в плані програмного забезпечення є модель плоскої дифузійної пари, яка являє собою набір порошинок контакт, між якими відбувається по площині. При цьому припускається, що дифузія відбувається лише в повздовжньому напрямку, а в двох інших напрямках вважається, що градієнт концентрації дорівнює нулю. На (рис.2.1.1) зображена модель плоскої системи для потрійної суміші. .
Рис.2.1.1. Модель плоскої дифузійної системи в потрійній суміші
Процес дифузії визначається розв'язком другого рівняння Фіка:
. (2.1)
Концентрація третього компоненту визначається як .
У зв'язку з обмеженістю системи при моделюванні дифузійних відпалів використовувались періодичні граничні умови Борна-Кармана [92]. Тобто .
Очевидно, що модель плоскої системи для потрійних сумішей дозволяє комбінувати взаємним розташуванням компонент 1,2,3.
Вище вказане рівняння (2.1) чисельно розв'язується за чотирьохточковою явною схемою[93].
2.1.2. Модель обволікання (сферична модель)
Раніше модель обволікання для бінарних систем (або її можна ще назвати сферична модель) була представлена в роботах [2, 39]. У розділі (1) (огляд літератури) розглянута дана модель для бінарних сумішей. В потрійних системах модель являє собою набір сферичних частинок сорту 1,2 і 3. У процесі відпалу порошинка радіусом буде обволікати порошинку радіусом утворюючи кулю радіусом , а порошинка радіусом буде обволікати кулю радіусом , утворюючи кулю радіусом (рис.2.1.2). Послідовність обволікань визначається, в першу чергу, співвідношенням поверхневих натягів і тугоплавкістю компонентів.
Рис.2.1.2. Модель обволікання (потрійна система)
Для потрійних порошкових систем процес дифузії описується у вигляді розв'язку системи рівнянь:
, . (2.2)
Концентрація третього компоненту визначається як .
На поверхні кулі за граничну умову прийнятий нульовий градієнт концентрації (відсутній потік через зовнішню границю).
Як і для моделі плоскої пари компоненти 1,2,3, можна міняти місцями довільним чином і вище вказане рівняння (2.2) чисельно розв'язується чотирьохточковою явною схемою.
2.1.3. Модель розділеної системи
Модель розділеної системи вперше була запропонована авторами робіт [42-44]. Також слід відмітити, що комп'ютерний варіант моделі використаний у роботі [94].
Ця модель для бінарних порошкових систем являє собою набір сферичних частинок і відповідно радіусами і (рис.2.1.3). На відміну від попередньої моделі, у даній моделі дифузія відбувається без обволікання. Коротко опишемо принцип дії цієї моделі. На поверхні порошинок обох типів відбувається поверхнева дифузія, яка, як відомо, протікає набагато швидше, ніж об'ємна. Тому на поверхні усіх порошинок концентрація протягом часу гомогенізації приймається однаковою і в початковий момент часу визначається за формулою:
(наближення) (2.3)
де - площа поверхні порошинок і-го сорту, - загальна площа поверхні усіх порошинок.
При цьому .
Рис.2.1.3. Модель розділеної системи (бінарна суміш)
Всередині кожної порошинки відбувається об'ємна дифузія, яка визначається розв'язком другого рівняння Фіка у сферичних координатах за формулою (2.2). Розв'язки рівнянь дифузії для двох наборів порошинок зв'язані рівнянням балансу потоків (умова зшивання):
, (2.4)
де , .
Відповідно для потрійних систем (рис.2.1.4) ця модель являє собою набір трьох типів сферичних частинок кількістю ,, радіусами ,,. В початковий час концентрацію компонент на поверхні порошинок можна визначити за формулою (2.3). Дифузійний процес в об'ємі порошинок визначається як і для бінарних сумішей за виразом (2.2). Концентрація третього компоненту визначається як .
Рис.2.1.4. Модель розділеної системи (потрійна суміш)
Дещо іншим чином, ніж у бінарних систем, буде виглядіти умова зшивання. Вона являє собою систему рівнянь:
(2.5)
де ; - кількість частинок і-го сорту; , , , - матриця коефіцієнтів дифузії.
2.1.4. Модель кубічних комірок
Розглянемо порошкову суміш із двох компонентів 1,2, представлену у вигляді трьохвимірного куба (рис.2.1.5). Розіб'ємо куб на рівних комірок (порошинок) і заповнимо комірки у шаховому порядку компонентами 1,2. Розіб'ємо кожну порошинку (комірку) на маленьких підкомірок розміром і будемо розв'язувати рівняння в кінцевих різницях з кроком по кожній вісі. Розбиття на підкомірки дає можливість враховувати градієнт концентрації у кожній комірці . Зміна концентрації в точках куба обраховується на основі чисельного розв'язку другого рівняння Фіка.
Рис.2.1.5. Модель кубічних комірок (потрійна суміш)
Для потрійних систем комірки куба заповнюємо у шаховому порядку компонентами 1,2,3 (рис.2.1.5) і чисельно (явна 8-точкова схема) розв'язуємо систему двох рівнянь:
(2.6)
При моделюванні дифузійних відпалів були використані умови Борна-Кармана [92].
Слід відмітити, що раніше комп'ютерний варіант цієї моделі для бінарних систем без врахування градієнту всередині порошинок, але з урахуванням можливості їх перемішування під час спікання, був представлений у роботі [95].
2.1.5. Комбіновані моделі
У цьому розділі розглянемо дві комбіновані моделі, які складаються з елементів моделей розділеної пари і обволікання. Ці моделі можуть бути застосовані тільки для потрійних систем.
1. Візьмемо набір порошинок сорту 1,2,3. Нехай порошинка радіусом буде обволікати порошинку радіусом утворюючи кулю радіусом . Припустимо, що між цією кулею і третьою порошинкою радіусом буде відбуватися дифузія за моделлю розділеної пари, а всередині кулі за моделлю обволікання (рис2.1.6.(а)). Тоді об'ємна дифузія всередині кулі і третьої по