РАЗДЕЛ 2
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РЕКОНСТРУКЦИИ ПОЛЕЙ СКОРОСТЕЙ
ТЕЧЕНИЙ ПО НЕРЕГУЛЯРНЫМ В ПРОСТРАНСТВЕ ИЗМЕРЕНИЯМ, СОДЕРЖАЩИМ ШУМЫ
2.1. Представление векторного поля через два скалярных потенциала
Задачу восстановления структуры океанической циркуляции по нерегулярным в пространстве и во времени измерениям скоростей течений можно с полным правом отнести к обширному классу обратных задач математической физики [39]. Как свидетельствует само название, в обратных задачах требуется выяснить истинные свойства явлений по их наблюдаемым следствиям. Что же касается конкретной проблемы, то здесь неизбежный источник неопределенности появляется как в виде инструментальных погрешностей измерений, так и вследствие влияния процессов, которые сеткой измерений не охватываются.
Одним из эффективных способов восстановления пространственной структуры океанографических полей по данным наблюдений является представление их характеристик в виде рядов по некоторым базисным функциям и вычислении коэффициентов разложений, согласующихся с данными наблюдений, в ходе решения определенных вариационных задач. В случае океанических течений, для решения такой задачи представляется целесообразным подобрать удобные скалярные переменные для описания векторных полей [33,78].
В настоящей диссертационной работе рассматривается задача реконструкции океанической циркуляции по экспериментальным данным, основанная на представлении двумерного векторного поля скоростей течений через два скалярных потенциала - функцию тока и потенциал скорости. Такое представление широко применяется, в частности, в метеорологии для построения спектрально-разностных моделей динамики атмосферы [76], или теории электромагнитного динамо для разбиения магнитного поля на тороидальную и полоидальную компоненты [30].
Согласно теореме Гельмгольца двумерное векторное поле скоростей течений на любой сферической поверхности с радиусом может быть представлено через два скалярных потенциала как:
(2.1)
где - двумерный градиент, и - функция тока и потенциал скорости, соответственно.
Пусть вихрь и дивергенция определены как результат следующих математических операций над полем :
, (2.2)
Тогда применив операцию дивергенции к выражению (2.1), можно получить уравнение Пуассона для потенциала скорости:
, (2.3)
Подобным образом выводится соответствующее уравнение для функции тока:
(2.4)
Если поле определено на всей сферической поверхности (например, поле ветра в атмосфере), дополнительные условия к уравнениям (2.3) и (2.4) не требуются и, зная , функцию тока и потенциал скорости можно легко вычислить. Такой подход широко используется в метеорологии. В случае же океанических течений, областью определения векторной функции являются отдельные участки сферических поверхностей, разделенные материками и островами, на границах которых соответствующие условия, налагаемые на , должны удовлетворяться [16, 17].
Если течения рассматриваются в горизонтальной плоскости (т.е. сферичностью Земли можно пренебречь), радиус-вектор в (2.1) может быть заменен единичным вектором в вертикальном направлении, а проекции вектора скорости на горизонтальные оси в прямоугольной декартовой системе координат можно записать следующим образом [18]:
, (2.5)
Краевые условия к уравнениям (2.3) и (2.4) для расчета скалярных потенциалов в прибрежных областях океана сформулируем следующим образом. Пусть, для определенности, задана односвязная область , ограниченная, частично, береговой линией и частично - открытой границей , как показано на рис. 2.1. Открытый участок границы области имеет две концевые точки и .
Рис. 2.1. Схематичная иллюстрация геометрии области реконструкции.
Соотношение (2.1) должно удовлетворяться и на границе области, следовательно, вдоль контура вектор скорости течения раскладывается на нормальную и тангенциальную составляющие
, (2.6)
где и - единичные вектора по нормали и касательной к границе (рис. 2.1), а и соответствующие расстояния вдоль этих векторов.
Совершенно очевидно, что условия (2.6) по отношению к уравнениям (2.3) и (2.4) переопределены в том смысле, что один из потенциалов может быть задан на границе произвольно. Естественно, что второй потенциал, при этом, должен быть определен соответствующим образом, т.е. исходя из условия, накладываемого на нормальную к границе компоненту скорости течения. Здесь можно также отметить, что скалярные потенциалы не могут быть введены, если обе компоненты скорости на границе равны нулю [21].
Произвол в определении граничных условий для потенциалов устраним следующим образом. Вдоль жесткого участка кинематическому условию скольжения , можно удовлетворить, если на потенциалы и наложить следующие ограничения [18]:
, (2.7)
где - некоторая постоянная. Поскольку мы рассматриваем односвязную область, можно положить ее равной нулю [21].
Интегрируя первое из тождеств (2.6) вдоль участка получим, что потенциал на открытой границе удовлетворяет равенству
(2.8)
Причем, если , то и . Если ввести параметр так, чтобы выполнялось соотношение
(2.9)
граничное условие для функции т