РАЗДЕЛ 2
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НУЛЕЙ И ЭЛЕМЕНТОВ НУЛЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ СИГНАЛОВ
В разделе на основе информационного критерия Фишера, связанного с точностью измерения, проводится анализ и выбор наиболее информативных признаков двумерного спектра сигнала для цифрового построения радиоизображения. Описывается дискретизация двумерного вещественного (неотрицательного) сигнала точкам пересечения пороговых уровней и его восстановление. Развитие получают неявная дискретизация комплекснозначных двумерных сигналов и математические модели их описания двумерным полиномом и взвешенным квазиполиномом. Исследуется представление двумерного поля в плоскости наблюдения нулевыми многообразиями и алгоритм их поиска. Обсуждаются возможности применения полученных результатов для решения задач дистанционного зондирования, радиокартографирования, радионавигации, а также хранения и обработки данных в цифровых системах.
2.1. Анализ и выбор наиболее информативной стратегии дискретизации
сигнала для его цифровой обработки
Задача формирования, восстановления и реконструкции двумерных сигналов, к которым относятся в общем случае комплекснозначные изображения, может успешно решаться с использованием устойчивых и наиболее информативных признаков сигналов. Естественным представляется деление задачи на две составные части: выбор и оценка информативности признаков; поиск наилучшего алгоритма использования отобранных признаков. Под признаками понимаются некоторые свойства сигналов, которые могут быть формализованы и количественно выражены.
При решении первой части задачи возникает необходимость предварительной обработки принимаемого сигнала. В результате обработки сигналу должен быть поставлен в соответствие конечный набор из признаков.
Для сигналов, спектр которых сосредоточен в ограниченной полосе частот, в качестве признаков можно использовать их дискретные отсчеты с интервалами , определяемыми теоремой Котельникова. Аппроксимация последовательностью таких отсчетов полностью определяет непрерывную функцию. Однако однозначное описание сигналов является избыточным и может представлять практические трудности даже при использовании современных высокопроизводительных ЦЭВМ. Дискретные отсчеты являются прямыми признаками в отличие от дополнительных - косвенных. Исходя из физических соображений к прямым также могут быть отнесены спектральные и корреляционные признаки сигналов.
К косвенным признакам относятся число и длительность выбросов, смен знака (пересечений нулевого уровня), среднее расстояние между выбросами, количество пересечений случайным процессом различных уровней за фиксированный промежуток времени и др. Физически число смен знака характеризует сдвиги, вносимые в частотную структуру сигнала при отражении от объекта, а число выбросов - искажения, вызываемые пространственно-временными свойствами объекта локации. Формирование признаковых описаний в каждой конкретной задаче проводится на основе изучения определенного функционального преобразования исходного сигнала . Такими преобразованиями являются, например, дифференцирование, интегрирование, свертка и т. п. Эти примеры представляют контурные модели сигнала.
Наряду с мгновенными значениями сигнала целесообразно также рассматривать его огибающую и фазу, которые несут информацию о модуляции принимаемого сигнала параметрами канала связи и временной задержке в среде его распространения.
Кроме упомянутых видов преобразований, при формировании описаний сигналов предлагается использовать различные нелинейные комбинации нескольких контурных моделей сигнала
, ,...,
связанные между собой определенным правилом
- так называемые структурные модели [53]. В структурные модели переменная в явном виде может и не входить.
Итак, задача состоит в выборе информативных преобразований принимаемых сигналов, описании этих преобразований ограниченным количеством числовых признаков, характеризующих их основные свойства, и установлении степени важности каждого признака для решения задачи формирования изображения. Исследования в этой области показывают, что наибольшую сложность представляет выявление информативных признаков.
Как известно, комплексный спектр сигнала, заданного в цифровой форме,
,
после замены переменной может быть представлен полиномом
значения которого заданы в равноотстоящих точках единичной окружности в плоскости комплексного переменного. Однако, даже ограничившись классом полиномов для описания спектра сигнала, параметры полинома все еще можно выбирать разными способами.
Полином степени , в котором аргумент в общем случае принимает комплексные значения, можно задать:
- значениями коэффициентов при степенях аргумента:
;
- значениями корней (нулей) полинома и коэффициентом при старшей степени:
;
- значениями самого полинома как функции при значениях аргумента :
,
где .
Выбор (их называют опорными абсциссами, а - опорными ординатами) можно подчинять самым различным требованиям оптимальности. Выражение известно как интерполяционная формула Лагранжа [54]. Эти варианты эквивалентны в том смысле, что полное число параметров во всех случаях одинаково и равно , и разные их наборы взаимно однозначно выражаются друг через друга. Имея значения пересечений спектра сигнала нулевого уровня, т.е. значения независимой переменной , при которых он обращается в нуль, можно весьма просто вычислять и , а обратная процедура не имеет в общем случае алгебраического решения и должна выполняться численными методами, которые быстро усложняются с ростом . На рис.2.1 показан график вещественного тригонометрического полинома , имеющего вещественные и комплексные нули.
Рис. 2.1. Нули одномерного полинома
Следует отметить, что вещественные нули функции располагаются в точках пересечения графика с осью абсцисс. Комплексные же нули менее очевидны и проявляют себя как л