РОЗДІЛ 2
ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АНАЛІЗУ ЧУТЛИВОСТІ ОПТИМАЛЬНИХ РЕЖИМІВ ЕЕС
Важливим етапом аналізу й оцінки чутливості математичних моделей в задачах
оптимального керування режимами ЕЕС, які багато в чому визначають ефективність
роботи всієї системи в цілому, є створення адекватної (подібної) математичної
моделі. В зв'язку з цим, необхідно розробити математичні моделі, що дозволяють
більш ефективно розв’язувати задачі аналізу чутливості оптимальних рішень по
керуванню режимами ЕЕС. Вони повинні дозволяти аналізувати і на основі
результатів аналізу інтерпретувати отриманий оптимум моделі на оптимум реальної
досліджуваної системи.
Для оцінки чутливості оптимальних розв’язків математична модель досліджуваного
процесу повинна бути приведена до форми, яка найбільше відповідає
використовуваному методу аналізу. При застосуванні критеріального методу такою
формою є безрозмірна або критеріальна форма [47, 48]. У [39, 53] розроблені
способи і прийоми критеріального моделювання, які відповідають широкому класу
задач, у тому числі аналізу чутливості.
У другому розділі адаптовано метод оцінки чутливості оптимальних рішень до
задач оптимального керування режимами ЕЕС, розроблено математичні моделі умов
оптимальності втрат потужності в ЕЕС для аналізу їх чутливості до зміни
параметрів електричних мереж, сформовано математичну модель ЕЕС для оцінки
чутливості параметрів режиму до коефіцієнтів трансформації трансформаторів,
шляхом математичного моделювання показано доцільність і ефективність
компенсації негативного впливу неоднорідності ЕЕС з врахуванням параметричної
чутливості, розроблено метод формування математичної моделі ЕЕС для
оптимального керування її нормальними режимами з врахуванням чутливості втрат
потужності до контурних е.р.с.
2.1. Аналіз чутливості математиної моделі оптимального керування стосовно
керування нормальними режимами ЕЕС
2.1.1. Оцінка чутливості критеріїв оптимальності. Зазвичай при синтезі
оптимальних програм і законів керування використовується апріорна інформація
про динамічні характеристики об'єкта, можливі зовнішні збурюючі впливи,
початкові умови для окремих ділянок процесу керування і т.д. Проте реальні
характеристики систем відрізняються від очікуваних. В наслідок цього визначене
керування може виявитися неоптимальним. Крім того, саме керування в результаті
похибок вимірювальних елементів, обчислювальних і виконавчих пристроїв зазвичай
відрізняється від розрахункового. Це також може привести до порушення умов
оптимальності. Для оцінки впливу зазначених факторів на величину значення
критерію оптимальності можна скористатися апаратом теорії чутливості [10, 71].
Функцію, що характеризує якість системи оптимальності, яка була позначена в
п.1.1. як F(x,u), запишемо наступним чином:
F = F[x(t, e1, ..., em, u1, ..., un), e1, ..., em, u1, ..., un, T], (2.1)
де ei - деякий параметр, що може мати різні фізичні значення (він може
характеризувати як власні властивості досліджуваної системи, так і зовнішні
впливи, що діють на неї; Т - інтервали часу, що характеризують період
дискретності керуючих впливів.
Припускається, що задача пошуку оптимального рішення по керуванню зведена до
задачі на умовний экстремум функції багатьох змінних. Оптимальне значення
функції при розрахункових значеннях параметрів e1, ..., em запишемо у вигляді:
F = F[x(t, e10, ..., em0, u10, ..., un0), e10, ..., em0, u10, ..., un0, T].
(2.2)
Нехай реальні значення параметрів ei і ui відрізняються від розрахункових на
малі величини Dei і Dui. Припустимо, що мінімум функції F досягається в межах
припустимої області параметрів керування. Тому часткові похідних , що
характеризують чутливість функції до змін параметрів ui, дорівнюють нулю.
Тоді, розкладаючи (2.1) у ряд Тейлора і нехтуючи членами вище першого порядку
відносно Dei і Dui, отримуємо:
. (2.3)
Із співвідношення (2.3) одержуємо, що чутливість розглянутої функції (2.1) до
змін параметрів оцінюється за допомогою виразу:
.
У даній роботі розв’язується задача, у якій як критерій оптимальності
використовується функція виду:
. (2.4)
Час Т може задаватись чи заздалегідь бути функцією e. В останньому випадку
момент Т визначається скалярною умовою [48]
W [x(T),T,e]=0. (2.5)
Очевидно, що при цьому момент часу Т є функцією параметра e.
Функція чутливості критерію (2.4) має вигляд:
В останньому виразі похідна визначається за допомогою співвідношення (2.5):
або
, (2.6)
де d(Т) - функція чутливості розв’язку при t=T; f[x(T), T, e] - права частина
диференціального рівняння системи при t=T.
В принципі функцією параметра e може бути і нижня межа інтегрування у функції
t0 (2.4), тобто
t = t0(e).
При цьому t0 визначається скалярним рівнянням [48]
W1[x(t0), t0(e), e] = 0. (2.7)
Функція чутливості критерію оптимальності (2.4), у випадку коли t0 є змінним,
визначається виразом:
(2.8)
У (2.8) похідна визначається за формулою (2.6), а похідна - за формулою
(2.9)
За допомогою функцій чутливості можна оцінити вплив: неточності вихідної
інформації про параметри незмінної частини системи (об'єкта, виконуючих
пристроїв і давачів); збурюючих впливів; початкових умов на значення
параметрів, що визначають оптимальність керування.
Розглянемо для прикладу функцію
F=F(u, x, e),