РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ АПРОСКИМАЦІЙНОГО ПРЕДСТАВЛЕННЯ ГРАДУЮВАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПЕРЕТВОРЮВАЧІВ ТЕМПЕРАТУРИ НА ОСНОВІ НАЙКРАЩОГО НЕЛІНІЙНОГО ЧЕБИШОВСЬКОГО
НАБЛИЖЕННЯ
2.1. Загальні властивості нелінійних наближень.
Градуювальні характеристики термоелектричних перетворювачів як правило мають
значну нелінійність і тому їх часто представляють у вигляді таблично заданих
функції або за допомогою інтерполяційних поліномів. Використання
поліноміального опису в практиці ускладнюється його обчислювальною
громіздкістю, зумовленою високим порядком поліному. Фактично при побудові
термометрів для лінеаризації нелінійності градуювальної характеристики
використовують обернену їй. Так, наприклад, точний опис функції, оберненої до
градуювальної характеристики платинового термометра, представляється поліномом
п’ятнадцятого степеня, чим забезпечується діапазон вимірюваних температур
термометра від 13.8033 К до 273.16 К [95]. У зв’язку з цим актуальною є
проблема побудови більш ефективних методів представлення градуювальник
характеристик в аналітичному вигляді. Для таких завдань доцільно
використовувати найкращі чебишовські наближення. Як правило, для наближень
експериментальних залежностей використовують многочлени та раціональні
многочлени. Але відомі первинні перетворювачі (наприклад арсенід-галієві та
германієві термометри опору), градуювальні характеристики яких є нелінійними
[33, 49, 66]. Отже, для зазначених перетворювачів оптимальними є наближаючі
вирази, нелінійні відносно параметрів.
При найкращому чебишовському наближенні виразом
(2.1)
параметри вибираються таким чином, щоби максимальна похибка наближення була
мінімальною. Тобто, вектор є розв’язком оптимізаційної задачі
. (2.2)
Відомо, що найкраще чебишовське наближення многочленом неперервної функції на
обмеженій множині існує та єдине. Однак, у випадку довільного нелінійного
виразу (2.1) найкраще чебишовське наближення може не існувати. Також, на
відміну від поліноміального наближення, універсальні алгоритми знаходження
найкращого чебишовського наближення відсутні.
Перевірка існування і єдності та побудова алгоритмів знаходження найкращих
чебишовських наближень значно спрощується, якщо наближаючий вираз задовольняє
умовам Хаара [83], які полягають в наступному:
кожна компонента градієнта неперервна на сукупності змінних та при ;
( m+1) компонента градієнта утворюють при простір Хаара розмірністю , де ,
тобто, коли будь-яка лінійна комбінація компонент градієнта, то з випливає, що
функція має на проміжку не більш ніж різних коренів;
для будь яких та таких, що різниця має на проміжку не більше m різних коренів (
– відкрита множина (m+1)-мірного простору ).
Для побудови мінімаксних наближень, як правило, вживають алгоритми, що
базуються на методах, розроблених Є. Ремезом [85]. Основою для побудови цих
методів є сформульована нижче теорема [87].
Будемо говорити, що функція , якщо система рівнянь чебишовської інтерполяції
, (2.3)
де
має єдиний розв’язок на будь-якій підмножині точок , а вираз має вигляд (2.1).
Теорема 2.1. Нехай наближаючий вираз (2.1) неперервний за параметрами при , по
при і вагова функція неперервна та при . Нехай крім того . Тоді справедливі
такі твердження.
Твердження 1. Найкраще чебишовське зважене наближення функції на проміжку за
допомогою виразу (2.1), що задовольняє системі рівнянь (2.3), існує і єдине.
Твердження 2. Вказане наближення повністю характеризується системою рівнянь
(2.3) і рівністю
. (2.4)
Твердження 3. Якщо початкове наближення , () до точок чебишовського альтернансу
вибрано так, що значення похибки наближення в точці відмінне від нуля (), то
алгоритм Ремеза з одноточковою заміною збігається за скінчене число кроків.
З наведених тверджень випливає, що для знаходження параметрів найкращих
нелінійних чебишовських наближень можна використати стандартний алгоритм
Ремеза, якщо тільки встановлено, що система рівнянь (2.3) має єдиний розв’язок
для і .
2.2. Найкраще чебишовське наближення сумою многочлена та нелінійної функції.
Градуювальні характеристики температурних давачів певних типів [62,67] можуть
бути представлені у вигляді суми експоненціальної функції та многочлена
[87,96]
, (2.5)
де – шукані параметри, – цілі числа.
В літературі відомі методи найкращого абсолютного чебишовського наближення
функції виразом з одним нелінійним параметром вигляду
, (2.6)
Однак, найкращі чебишовські наближення виразом вигляду вигляду (2.6) існують не
завжди. Відома [96] наступна теорема.
Теорема 2.2. Нехай . Тоді достатньою умовою існування найкращого чебишовського
наближення функції виразом (2.6) на множині (– відрізок або дискретна множина
точок) є монотонність функції по при для довільних , монотонність функцій , по
для довільних , та виконання нерівності
,
де – довільні числа з множини , , ,
, ,
, ,…
Наслідок 1. Функція при , задовольняє умовам теореми, оскільки вона монотонна
разом з усіма похідними по та відношення похідних є монотонним по . При цьому
.
Наслідок 2. Функція при , задовольняє умовам теореми, оскільки вона монотонна
разом з усіма похідними по та відношення похідних є монотонним по . При цьому
.
Останні два часткові випадки мають велике практичне значення, оскільки
існування для них найкращого чебишовського наближення вигляду (2.6) гарантоване
для досить широкого класу функцій. Можна навести багато прикладів інших функцій
(, , , ,), що задовольняють умовам теореми, однак накладають серйозні обмеження
на наближувану функцію .
Розглянемо наближення функції виразом з одним нелінійним параметром вигляду
, (2.7)
– цілі числа.
Далі в основному будемо розглядати ви