РАЗДЕЛ 2. ЭФФЕКТЫ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПАРОВОГО ПУЗЫРЯ В ОБЪЕМЕ ЖИДКОСТИ
2.1. Математическая модель и методы ее исследования
Как упоминалось в главе I, существует много различных аппаратов основанных на
принципе ДИВЭ.
Принцип ДИВЭ может быть реализован при схлопывании системы пузырей в
парожидкостном потоке. Использование механизма ДИВЭ предполагает трансформацию
тепловой энергии паровыми или парогазовыми пузырьками в мощные динамические
импульсы в одно- или двухфазных системах. За счет быстрого изменения параметров
состояния парового пузырька (имеются ввиду процессы роста и схлопывания) в его
окрестности возникают очень высокие амплитудные значения скорости, ускорения и
локального давления [27]. Процессы возникновения неустойчивости на межфазной
поверхности способствуют интенсификации тепло- массопереноса и процессов
дробления дисперсных включений. Поэтому во второй главе будет проведен
нелинейный анализ устойчивости парового пузырька. Пузырек будет рассматриваться
как динамическая система, подверженная воздействию различных возмущающих
факторов. В отличии от большинства предыдущих работ основное внимание будет
уделено изучению нестабильности поведения пузырька как динамической системы и
исследованию различных типов неустойчивости, что позволит более глубоко
проникнуть в физику происходящих процессов.
Физическая постановка задачи. Рассмотрим одиночный паровой пузырек в объеме
жидкости. Жидкость имеет параметры: давление в среде - р1, температура - T1 и
плотность - r1. Давление р2, температура T2 и плотность r2 – параметры
состояния паровой фазы. Пузырек рассматривается как сфера с переменным во
времени радиусом R(t). Предполагается, что он неподвижный и заполнен паром
данной жидкости (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Физическая постановка задачи.
Математическая модель. В соответствии с принятыми допущениями математическая
модель будет содержать уравнение Релея, описывающего рост парового пузыря,
уравнение Клапейрона-Клаузиуса, которое описывает связь между температурой и
давлением на линии фазового перехода (линии насыщения), модифицированное
уравнение сохранения массы и уравнение изменения плотности пара внутри пузырька
[27]
(2.1)
Межфазный массоперенос определяется теплообменом на границе жидкость-пар,
поэтому справедливо выражение
(2.2)
где коэффициент теплоотдачи вычисляется по формуле Дрейка [27], учитывая
предположение о неподвижности парового пузырька.
(2.3)
Начальные условия принимались следующие:
(2.4)
Приведенная модель учитывает вязкостные силы, силы поверхностного натяжения на
границе жидкость-пар и силы давления на паровой пузырек, изменение температуры
и плотности пара внутри пузырька.
Суть задачи исследования устойчивости заключается в следующем: на решение
системы дифференциальных уравнений накладываются возмущения и отслеживается
поведение этих возмущений во времени. Нарастание возмущений соответствует
неустойчивому состоянию системы, в то время как их затухание говорит об
устойчивости системы.
Для исследования устойчивости парового пузырька систему уравнений (2.1) удобно
обезразмерить и привести к системе дифференциальных уравнений первого порядка в
автономной форме [74], то есть когда время явно не входит в систему. В
результате после обезразмеривания система (2.1) примет вид
(2.5)
Существуют различные разновидности устойчивых и неустойчивых состояний, такие
как предельный цикл, стационарное состояние, странный аттрактор, о которых
упоминается в первой главе работы. Для определения характера конкретного
состояния системы существует алгоритм исследования. Опишем его кратко в общих
чертах.
Рассмотрим динамическую систему, которую можно описать связанными автономными
дифференциальными уравнениями:
(2.6)
Система эволюционирует в пространстве состояний переменных (kО(1, …, N)) по
траектории, которая задается конкретными начальными условиями
. (2.7)
Особыми точками (стационарными состояниями) на траектории эволюции системы
являются те точки, в которых
(2.8)
То есть стационарные состояния определяются вещественными решениями системы
связанных нелинейных алгебраических уравнений (2.9). Решив эту систему и
определив стационарные состояния можно исследовать устойчивость этих состояний
в зависимости от начальных условий (2.7).
Для исследования устойчивости системы на неё накладываются малые возмущения ,
которые выводят систему из положения равновесия и удовлетворяют условию:
, (2.9)
где - любое положительное число при всех k.
Разложим правые части уравнения (2.6) в ряд Тейлора относительно определенного
стационарного значения выбранной переменной. Если функции являются достаточно
гладкими, то в разложении можно учесть лишь линейные члены. В результате чего
имеем:
. (2.10)
Введем обозначения
. (2.11)
Параметр описывает влияние переменной на и называется параметром
взаимодействия, а сама матрица, образованная элементами – матрицей
взаимодействия А (матрица Якоби). После линеаризации система дифференциальных
уравнений относительно возмущений имеет вид:
(2.12)
или в матричной форме
. (2.13)
Выберем возмущения отдельных переменных в виде
, (2.14)
где - инкремент нарастания возмущений. По знаку параметра можно судить об
устойчивости системы. Если использовать формулу (2.14), то получим систему
линейных алгебраических уравнений
(2.15)
или в матричной форме -
. (2.16)
Требование существования нетривиальных решений () системы (2.16) выражается
следующим условием:
. (2.17)
Отсюда могут быть вычислены
- Київ+380960830922