РАЗДЕЛ 2
СИНТЕЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Математическая модель системы радиоуправления представляет собой
формализованное описание системы в виде математических соотношений. Она в
определенной степени отражает свойства реальной системы. Разработка и
исследование математической модели системы радиоуправления позволяют
синтезировать оптимальные, по выбранному критерию, алгоритмы управления
объектом, а также определить ограничения, накладываемые на систему при работе в
реальных условиях функционирования. При этом следует учитывать особенности
управляемого объекта.
При разработке математической модели обращаются к физическим законам,
описывающим функционирование элементов системы управления. Эти законы обычно
описываются дифференциальными, разностными или алгебраическими уравнениями,
путем преобразований которых описание системы может быть представлено в форме,
удобной для анализа функционирования этих систем, в частности в
векторно-матричной форме (в пространстве состояний) и (или) в виде набора
передаточных функций отдельных звеньев системы [42 – 48].
Цель настоящего раздела – дать представление о методах, используемых для
синтеза математической модели, определить общую структуру системы
радиоуправления, охарактеризовать управляемый объект в физическом и
математическом аспектах, синтезировав при этом дискретную модель динамики его
движения, а также получить модели остальных звеньев системы управления в рамках
общей структуры.
В этой связи понадобится рассмотреть методы математического моделирования в
пространстве состояний и с помощью передаточных функций, вопросы разработки и
выбора оптимального метода радиоуправления, синтеза алгоритмов управления при
полной информации о параметрах вектора состояний системы, провести анализ
полученной дискретной системы путем исследования замкнутого контура с помощью
моделирования на ЭВМ процесса проводки судна по заданной траектории.
2.1. Синтез и анализ дискретных систем на основе уравнений
в пространстве состояний
Широкое применение метода, основанного на использовании уравнений в
пространстве состояний [43, 45], обусловлено возможностью применения ЭВМ для
анализа и синтеза систем. Это позволяет повысить качество и эффективность
проводимых исследований. С точки зрения математики подход, основанный на
понятии вектора пространства состояний, предполагает использование методов
матричного исчисления и векторного анализа для операций с большим числом
переменных в исследуемых задачах.
Основа данного метода синтеза состоит в преобразовании линейной системы
дифференциальных уравнений при заданном периоде дискретности в линейную систему
алгебраических уравнений, которая носит название уравнения в пространстве
состояний и записывается в векторно-матричном виде. Часто прибегают к
непосредственному синтезу дискретной системы, проводя ее линеаризацию и учет
всех налагаемых ограничений, что позволяет не усложнять (как в случае с
дифференциальной системой уравнений) математическую формулировку задачи
управления и, как следствие, дает возможность получить эффективные, практически
реализуемые, оптимальные системы управления.
Как правило, состояние системы или процесса может быть представлено в виде
элемента множества возможных состояний . Важным является то, чтобы каждый
элемент множества характеризовал состояние рассматриваемой системы или процесса
полностью и однозначно. Поэтому множество рассматривается как пространство
состояний системы или процесса.
Пространство состояний применяется как при описании замкнутых (автономных)
систем и процессов, не взаимодействующих с другими системами и процессами
(например внешней средой), так и для систем и процессов, в которых такое
взаимодействие существует. В последнем случае необходимо введение
дополнительных множеств, таких, как множество управлений с элементами ,
множество возмущающих воздействий с элементами .
Элементами пространства состояний могут быть конечные упорядоченные
совокупности действительных чисел (конечномерные векторы). Подобный вектор в
развернутой форме обозначается либо в виде вектора-строки , либо в виде
вектора-столбца , где – матрица-строка, элементы которой называют переменными
состояния, а - символ транспонирования.
Системы нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых описывается
функционирование многих динамических систем, могут быть представлены в виде
матричных нелинейных дифференциальных уравнений
(2.1)
где – вектор состояний системы; – вектор управлений системы; – вектор
возмущающих воздействий; – нелинейная функция нескольких переменных.
Уравнение, соответствующее линеаризованному уравнению (2.1), имеет вид
[43, 45]:
(2.2)
где – динамическая матрица системы; – матрица управлений системы; – матрица
возмущений системы.
Выходные сигналы датчиков наблюдения за поведением системы, то есть систему
измерений, представляют уравнением вида
(2.3)
где – вектор измерений системы; – вектор ошибок измерений; – матрица
измерений.
Общее решение дифференциального уравнения (2.2) может быть получено в виде [43]
(2.4)
где - переходная матрица состояний системы.
Для стационарных систем (систем с постоянными коэффициентами), то есть для
систем, в которых матрицы , , не зависят от времени, уравнение (2.4) может быть
записано в виде
(2.5)
где - переходная матрица состояний системы.
Переходная матрица состояний системы определяется динамической матрицей
системы:
(2.6)
Векторы состояни
- Київ+380960830922